Calcule, utilizando o Teorema fundamental do cálculo, as seguintes integrais definidas: integral0^9 raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse problema está relacionado ao cálculo integral, especificamente ao cálculo de áreas sob curvas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar uma antiderivada da função e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele basicamente diz que, para calcular a integral definida de uma função, podemos encontrar uma antiderivada dessa função e avaliar essa antiderivada nos limites superior e inferior, depois subtrair os resultados. Matematicamente, se integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a) é uma antiderivada de , então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma antiderivada para a função integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C . Primeiro, vamos reescrever integral x^1/2 , dx = x^1/2 + 11/2 + 1 + C = x^3/23/2 + C = 23x^3/2 + C como . A regra de potência para integração nos diz que:
onde é a constante de integração. Aplicando essa regra com :
Então, uma antiderivada de é .

Passo 4

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração integral0^9 raizx , dx = F(9) - F(0) = 23(9)^3/2 - 23(0)^3/2 e . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. Calculando 9^3/2 = (raiz9)^3 = 3^3 = 27 :
0^3/2 = (raiz0)^3 = 0^3 = 0
  1. Calculando 23(27) - 23(0) = 543 - 0 = 18 :
Substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral é 18.

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