Se lim x p f(x)=L1 e lim x p g(x)=L2. Prove as seguintes propriedades de limites:
d) lim x p f(x)g(x)=L1L2, desde que L2 neq 0.

Passo 1

Então, a gente tem duas funções, limx to p f(x)g(x) = L1L2 e , e sabemos que quando se aproxima de , se aproxima de e se aproxima de . A matéria aqui é sobre limites de funções, especificamente as propriedades dos limites. O que a gente precisa provar é que o limite do quociente dessas duas funções é igual ao quociente dos limites delas, ou seja:
desde que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma propriedade básica dos limites chamada propriedade da divisão de limites. Essa propriedade diz que se você tem dois limites, limx to p f(x)g(x) = limx to p f(x)limx to p g(x) e , e , então o limite do quociente é igual ao quociente dos limites. Ou seja:
Isso funciona porque, se o denominador não está se aproximando de zero, não temos problemas de indeterminação e podemos dividir os limites diretamente.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, a gente substitui os limites conhecidos:
limx to p f(x)g(x) = limx to p f(x)limx to p g(x) = L1L2

Resposta

Portanto, mostramos que:
limx to p f(x)g(x) = L1L2
desde que .

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