Se
e
. Prove as seguintes propriedades de limites:
d)
, desde que
.
d)
Passo 1
Então, a gente tem duas funções,
e
, e sabemos que quando
se aproxima de
,
se aproxima de
e
se aproxima de
. A matéria aqui é sobre limites de funções, especificamente as propriedades dos limites. O que a gente precisa provar é que o limite do quociente dessas duas funções é igual ao quociente dos limites delas, ou seja:
desde que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma propriedade básica dos limites chamada propriedade da divisão de limites. Essa propriedade diz que se você tem dois limites,
e
, e
, então o limite do quociente
é igual ao quociente dos limites. Ou seja:
Isso funciona porque, se o denominador não está se aproximando de zero, não temos problemas de indeterminação e podemos dividir os limites diretamente.
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, a gente substitui os limites conhecidos:
Resposta
Portanto, mostramos que:
desde que
.