Calcule a integral. integral tg x sec ^2 xcos x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral . Isso está relacionado a conceitos de cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar manipular as funções trigonométricas e usar técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a resolução. Lembre-se que:
tan x = sin xcos x e sec x = 1cos x
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
integral sin xcos x cdot 1cos^2 xcos x , dx = integral sin xcos^4 x , dx

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx , percebemos que o numerador é integral sin xcos^4 x , dx = integral -duu^4 = -integral u^-4 , du e o denominador é . Vamos escolher , assim:
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar -integral u^-4 , du = -( u^-3-3 ) + C = u^-33 + C = 13u^3 + C em relação a . A integral de é quando . Então:

Passo 5

Por fim, voltamos para a variável original 13u^3 + C = 13cos^3 x + C substituindo 13cos^3 x + C :
Então, a integral resolvida é:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados