Calcule a integral
integral0^pi(4 sin (x)-3 cos (x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Isso faz parte do cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar encontrar as antiderivadas de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a antiderivada das funções trigonométricas básicas:
  • A antiderivada de integral 4 sin(x) , dx = 4 cdot (-cos(x)) = -4 cos(x) é integral -3 cos(x) , dx = -3 cdot sin(x) .
  • A antiderivada de é .
Então, aplicando isso na nossa função:

Passo 3

Agora, somamos as antiderivadas encontradas:
integral (4 sin(x) - 3 cos(x)) , dx = -4 cos(x) - 3 sin(x) + C
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a , não precisamos do . Vamos avaliar essa expressão nos limites de integração.

Passo 4

Vamos substituir os limites na antiderivada:
[-4 cos(x) - 3 sin(x)]0^pi = (-4 cos(pi) - 3 sin(pi)) - (-4 cos(0) - 3 sin(0))
Sabendo que = (-4 cdot (-1) - 3 cdot 0) - (-4 cdot 1 - 3 cdot 0) = (4 - 0) - (-4 - 0) = 4 + 4 = 8 , , e , substituímos:

Resposta

O valor da integral é 8.

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