Calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integração de funções que envolvem potências de . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da potência para integrais, que nos ajuda a integrar expressões com elevado a algum expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando . Lembrando que é o mesmo que , podemos distribuir essa raiz para os termos dentro do parêntese:
Agora, a integral fica mais simples:

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Agora, vamos integrar cada termo individualmente usando a regra da potência para integrais, que diz que:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Integrando o primeiro termo :
Integrando o segundo termo :

Passo 5

Agora, aplicamos esses resultados aos limites de integração de 1 a 4:
Vamos calcular cada parte:
Para entre 1 e 4:
Para entre 1 e 4:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes:
Para somar frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum entre 3 e 5 é 15:
Somando-as:

Resposta

A integral é igual a , aproximadamente 17,07.

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