Calcule a integral
integral1^4 raizx(1+x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integração de funções que envolvem potências de . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da potência para integrais, que nos ajuda a integrar expressões com elevado a algum expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando raizx(1 + x) = x^1/2 cdot 1 + x^1/2 cdot x = x^1/2 + x^3/2 . Lembrando que integral1^4 raizx(1+x) , dx = integral1^4 ( x^1/2 + x^3/2 ) dx é o mesmo que , podemos distribuir essa raiz para os termos dentro do parêntese:
Agora, a integral fica mais simples:

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral1^4 x^1/2 , dx + integral1^4 x^3/2 , dx
Agora, vamos integrar cada termo individualmente usando a regra da potência para integrais, que diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde é a constante de integração.

Passo 4

Integrando o primeiro termo integral x^1/2 , dx = x^(1/2)+1(1/2)+1 = x^3/23/2 = 23x^3/2 :
integral x^3/2 , dx = x^(3/2)+1(3/2)+1 = x^5/25/2 = 25x^5/2
Integrando o segundo termo :

Passo 5

Agora, aplicamos esses resultados aos limites de integração de 1 a 4:
[ 23x^3/2 ]1^4 + [ 25x^5/2 ]1^4
Vamos calcular cada parte:
Para 23(4^3/2 - 1^3/2) = 23(8 - 1) = 23 times 7 = 143 entre 1 e 4:
25(4^5/2 - 1^5/2) = 25(32 - 1) = 25 times 31 = 625
Para entre 1 e 4:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes:
143 + 625
Para somar frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum entre 3 e 5 é 15:
143 = 14 times 53 times 5 = 7015
625 = 62 times 35 times 3 = 18615
Somando-as:
7015 + 18615 = 25615

Resposta

A integral é igual a , aproximadamente 17,07.

Exercícios relacionados