Calcule a integral
integral-2^-1(4 x^3+2y^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve polinômios e uma constante. O que a gente precisa aqui é usar as regras básicas de integração para termos que têm potências de e constantes. Então, vamos calcular a integral definida de no intervalo de até .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral-2^-1 (4x^3 + 2y^3) dx = integral-2^-1 4x^3 dx + integral-2^-1 2y^3 dx
Isso funciona porque a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo, integral 4x^3 dx = 4 cdot x^44 = x^4 :
integral 2y^3 dx = 2y^3 cdot x
Aqui, usamos a regra de potência que diz que .
Para o segundo termo, , que é uma constante em relação a :
Como a integral de uma constante em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos avaliar as antiderivadas nos limites de integração, de x^4 |-2^-1 = (-1)^4 - (-2)^4 = 1 - 16 = -15 a 2y^3 cdot x |-2^-1 = 2y^3 cdot (-1) - 2y^3 cdot (-2) = -2y^3 + 4y^3 = 2y^3 :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
-15 + 2y^3

Resposta

A integral vale .

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