Calcule a integral. integral0^pi sin ^2 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de sin^2 x cos^2 x no intervalo de 0 a pi. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^2 x cos^2 x. Uma boa dica é usar a identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno a um ângulo duplo:
sin x cos x = sin 2x2
Então, elevando ao quadrado ambos os lados:
sin^2 x cos^2 x = (sin 2x2)^2 = sin^2 2x4

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:
integral0^pi sin^2 x cos^2 x , dx = 14 integral0^pi sin^2 2x , dx
Para integrar sin^2 2x, usamos a identidade de redução de potência:
sin^2 a = 1 - cos 2a2
Aplicando isso:
sin^2 2x = 1 - cos 4x2

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
14 integral0^pi 1 - cos 4x2 , dx = 18 integral0^pi (1 - cos 4x) , dx
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando o termo constante:
integral0^pi 1 , dx = pi
E integrando o termo com cosseno:
integral0^pi cos 4x , dx = [ sin 4x4 ]0^pi = sin 4pi - sin 04 = 0
Isso porque o seno de múltiplos de pi é zero.

Passo 6

Então, juntando tudo:
18 (pi - 0) = pi8

Resposta

A integral vale pi8.

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