Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Uma boa dica é usar a identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno a um ângulo duplo:

Então, elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:

Para integrar , usamos a identidade de redução de potência:
Aplicando isso:

Passo 4

Substituindo de volta na integral:

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando o termo constante:

E integrando o termo com cosseno:
Isso porque o seno de múltiplos de é zero.

Passo 6

Então, juntando tudo:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira:
(b) sequência crescente
( )
Qual das seguintes expressões representa o termo geral da seqüência ?
( )
( )
( )
( )
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Se é contínua para , a Transformada de Laplace de é a função definida por e o domínio de é o conjunto de todos os números para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções: