Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Uma boa dica é usar a identidade trigonométrica que relaciona o produto de seno e cosseno a um ângulo duplo:
Então, elevando ao quadrado ambos os lados:
Passo 3
Agora, a integral fica mais simples:
Para integrar
Aplicando isso:
Passo 4
Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 5
Integrando o termo constante:
E integrando o termo com cosseno:
Isso porque o seno de múltiplos de
é zero.
Passo 6
Então, juntando tudo:
Resposta
A integral vale
.