Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. integral-infty^infty x e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular seu valor. Aqui, estamos trabalhando com o cálculo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função que está sendo integrada: . O termo cresce muito rápido conforme aumenta em valor absoluto. Multiplicado por , vemos que a função cresce ainda mais.

Passo 3

Para avaliar a convergência da integral, vamos tentar calcular a integral indefinida de integral x e^x^2 dx . Temos:
integral x e^x^2 dx = 12 integral e^u du = 12 e^u + C = 12 e^x^2 + C
Vamos usar uma substituição simples aqui. Seja , então ou . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de integral-infty^infty x e^x^2 dx = limA to -infty 12 e^x^2 |A^0 + limB to infty 12 e^x^2 |0^B a 12(e^0 - e^A^2) = 12(1 - e^A^2) :
12(e^B^2 - e^0) = 12(e^B^2 - 1)
Calculando cada parte:
Para :
Como , , então . Portanto, essa parte tende a .
Para :
Aqui, , então essa parte tende a .

Passo 5

Somando as duas partes, temos , o que é uma forma indeterminada. Isso significa que a integral não converge para um valor finito.

Resposta

A integral é divergente.

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