Se f(t) é contínua para t >= 0, a Transformada de Laplace de f é a função F definida por F(s)=integral0^infty f(t) e^s t d t e o domínio de F é o conjunto de todos os números para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções: f(t)=e^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace de uma função específica, que é . A Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do tempo para o domínio da frequência . Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace que envolve integrar a função multiplicada por de 0 ao infinito. Vamos precisar lembrar como integrar exponenciais e saber quando essa integral “bate” ou converge.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a definição da Transformada de Laplace com a função que temos:
F(s) = integral0^infty e^t cdot e^s t , dt
Aqui, substituímos por . Agora, vamos simplificar essa expressão.

Passo 3

Quando você tem duas exponenciais multiplicando, como e^t cdot e^s t = e^(s + 1)t e F(s) = integral0^infty e^(s + 1)t , dt , você pode somar os expoentes:
Então, a integral fica assim:

Passo 4

Agora, precisamos integrar integral e^k t , dt = 1k e^k t + C em relação a F(s) = 1s + 1 e^(s + 1)t g|0^infty . A regra de integração para exponenciais é a seguinte:
onde e é a constante de integração. Então, aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos avaliar os limites dessa expressão. Para a integral convergir (ou “dar certo”), o expoente s + 1 < 0 Rightarrow s < -1 precisa ser negativo. Isso porque, se for positivo, limt to infty e^(s + 1)t = 0 vai crescer sem parar quando e^(s + 1) cdot 0 = 1 tende ao infinito, fazendo a integral ser infinita. Então, temos que:
F(s) = 1s + 1 (0 - 1) = -1s + 1
Com essa condição:
E quando :
Então, substituindo os limites:

Resposta

A Transformada de Laplace de F(s) = -1s + 1 é:
E essa transformação é válida para .

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