Se é contínua para , a Transformada de Laplace de é a função definida por e o domínio de é o conjunto de todos os números para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace de uma função específica, que é . A Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma funções do tempo para o domínio da frequência . Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace que envolve integrar a função multiplicada por de 0 ao infinito. Vamos precisar lembrar como integrar exponenciais e saber quando essa integral “bate” ou converge.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a definição da Transformada de Laplace com a função que temos:
Aqui, substituímos por . Agora, vamos simplificar essa expressão.
Passo 3
Quando você tem duas exponenciais multiplicando, como e , você pode somar os expoentes:
Então, a integral fica assim:
Passo 4
Agora, precisamos integrar em relação a . A regra de integração para exponenciais é a seguinte:
onde e é a constante de integração. Então, aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos avaliar os limites dessa expressão. Para a integral convergir (ou “dar certo”), o expoente s + 1 < 0 Rightarrow s < -1 precisa ser negativo. Isso porque, se for positivo, limt to infty e^(s + 1)t = 0 vai crescer sem parar quando e^(s + 1) cdot 0 = 1 tende ao infinito, fazendo a integral ser infinita. Então, temos que: