Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, onde a gente precisa usar identidades trigonométricas pra simplificar a expressão antes de integrar. Vamos precisar conhecer algumas fórmulas de identidades trigonométricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se dá pra simplificar usando alguma identidade trigonométrica. Uma fórmula útil é:
Essa identidade nos ajuda a transformar o produto de senos e cossenos em uma expressão mais simples para integrar.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
Agora, nossa integral ficou mais fácil de lidar, mas ainda precisamos simplificar .

Passo 4

Vamos usar outra identidade trigonométrica para :
Aplicando isso para , temos:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
Agora, a integral está pronta para ser resolvida termo a termo.

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é simplesmente , e a segunda integral de é .

Passo 7

Calculando as integrais:
Sabemos que e , então isso simplifica para:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

A curva dada é girada em torno do eixo . Calcule a área da superfície resultante:
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes:
Calcule: o volume do sólido contido no cilindro , abaixo do plano e acima do paraboloide ;
Esboce a região de integração e monte a integral trocando a ordem de integral (não precisa calcular, somente montar)