Calcule a integral: integral0^pi sin ^2 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, onde a gente precisa usar identidades trigonométricas pra simplificar a expressão antes de integrar. Vamos precisar conhecer algumas fórmulas de identidades trigonométricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se dá pra simplificar sin^2 x cos^2 x = 14 sin^2 2x usando alguma identidade trigonométrica. Uma fórmula útil é:
Essa identidade nos ajuda a transformar o produto de senos e cossenos em uma expressão mais simples para integrar.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
integral0^pi sin^2 x cos^2 x , dx = integral0^pi 14 sin^2 2x , dx = 14 integral0^pi sin^2 2x , dx
Agora, nossa integral ficou mais fácil de lidar, mas ainda precisamos simplificar .

Passo 4

Vamos usar outra identidade trigonométrica para sin^2 theta = 1 - cos 2theta2 :
sin^2 2x = 1 - cos 4x2
Aplicando isso para , temos:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
14 integral0^pi sin^2 2x , dx = 14 integral0^pi 1 - cos 4x2 , dx = 18 integral0^pi (1 - cos 4x) , dx
Agora, a integral está pronta para ser resolvida termo a termo.

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
18 [ integral0^pi 1 , dx - integral0^pi cos 4x , dx ]
A primeira integral é simplesmente , e a segunda integral de é .

Passo 7

Calculando as integrais:
18 [ x |0^pi - sin 4x4 |0^pi ] = 18 [ (pi - 0) - ( sin 4pi4 - sin 04 ) ]
Sabemos que 18 (pi - 0) = pi8 e , então isso simplifica para:

Resposta

O valor da integral é .

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