Calcule: o volume do sólido contido no cilindro , abaixo do plano e acima do paraboloide ;
Passo 1
Vamos calcular o volume do sólido que está dentro do cilindro , abaixo do plano e acima do paraboloide . Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com um cilindro e funções circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que queremos calcular o volume. O cilindro tem raio 2 e se estende indefinidamente ao longo do eixo z. O plano é uma superfície plana horizontal, e o paraboloide é uma superfície curva que abre para baixo.
Passo 3
Para encontrar os limites de integração, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas, onde , e .
No paraboloide:
No cilindro:
Passo 4
Agora, determinamos o intervalo para . O sólido está acima do paraboloide e abaixo do plano . Portanto:
Passo 5
O próximo passo é configurar a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Aqui, varia de 0 a 2 (raio do cilindro) e varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.