Calcule: o volume do sólido E1 contido no cilindro x^2 + y^2 = 4, abaixo do plano z = 6 e acima do paraboloide z = 4 - x^2 - y^2;

Passo 1

Vamos calcular o volume do sólido que está dentro do cilindro , abaixo do plano e acima do paraboloide . Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cilíndricas, já que estamos lidando com um cilindro e funções circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que queremos calcular o volume. O cilindro tem raio 2 e se estende indefinidamente ao longo do eixo z. O plano é uma superfície plana horizontal, e o paraboloide é uma superfície curva que abre para baixo.

Passo 3

Para encontrar os limites de integração, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas, onde , e .
No paraboloide:
No cilindro:

Passo 4

Agora, determinamos o intervalo para . O sólido está acima do paraboloide e abaixo do plano . Portanto:

Passo 5

O próximo passo é configurar a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Aqui, varia de 0 a 2 (raio do cilindro) e varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a :

Passo 8

Em seguida, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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