Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida de
de 1 a 3. Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher partes de
e
de forma que a integral se torne mais simples após a aplicação dessa fórmula.
Passo 3
Vamos escolher
. Assim, derivando
obtemos
.
Escolhemos
. Integrando
, temos
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, a integral ficou
, que ainda precisamos resolver.
Passo 5
Vamos aplicar novamente a integração por partes para
.
Escolhemos
, então
.
Escolhemos
, então
.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
A integral agora é
, que também precisa ser resolvida por integração por partes.
Passo 7
Mais uma vez, aplicamos integração por partes para
.
Escolhemos
, então
.
Escolhemos
, então
.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Voltando para a etapa anterior:
Passo 9
Agora, substituímos de volta:
Passo 10
Voltando à primeira aplicação:
Passo 11
Agora, avaliamos a integral definida de 1 a 3:
Calculando para
:
Calculando para
:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
Demostre a fórmula, onde
e
são inteiros positivos.
Encontre o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
em torno
Calcule a integral.