Calcule a integral: integral1^3 x^3 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de 1 a 3. Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher partes de e de forma que a integral se torne mais simples após a aplicação dessa fórmula.

Passo 3

Vamos escolher . Assim, derivando obtemos .
Escolhemos . Integrando , temos .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^3 e^x dx = x^3 e^x - integral e^x cdot 3x^2 dx
Agora, a integral ficou , que ainda precisamos resolver.

Passo 5

Vamos aplicar novamente a integração por partes para .
Escolhemos , então .
Escolhemos , então .

Passo 6

Aplicando a fórmula:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x dx
A integral agora é , que também precisa ser resolvida por integração por partes.

Passo 7

Mais uma vez, aplicamos integração por partes para .
Escolhemos , então .
Escolhemos , então .

Passo 8

Aplicando a fórmula:
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x
Voltando para a etapa anterior:
integral 2x e^x dx = 2(x e^x - e^x) = 2x e^x - 2e^x

Passo 9

Agora, substituímos de volta:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x

Passo 10

Voltando à primeira aplicação:
integral x^3 e^x dx = x^3 e^x - 3(x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x) = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x

Passo 11

Agora, avaliamos a integral definida de 1 a 3:
[ x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x ]1^3
Calculando para 3^3 e^3 - 3 cdot 3^2 e^3 + 6 cdot 3 e^3 - 6 e^3 = 27e^3 - 27e^3 + 18e^3 - 6e^3 = 12e^3 :
1^3 e^1 - 3 cdot 1^2 e^1 + 6 cdot 1 e^1 - 6 e^1 = e - 3e + 6e - 6e = -2e
Calculando para :

Resposta

A integral é igual a .

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