Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de 1 a 3. Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher partes de e de forma que a integral se torne mais simples após a aplicação dessa fórmula.

Passo 3

Vamos escolher . Assim, derivando obtemos .
Escolhemos . Integrando , temos .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, a integral ficou , que ainda precisamos resolver.

Passo 5

Vamos aplicar novamente a integração por partes para .
Escolhemos , então .
Escolhemos , então .

Passo 6

Aplicando a fórmula:
A integral agora é , que também precisa ser resolvida por integração por partes.

Passo 7

Mais uma vez, aplicamos integração por partes para .
Escolhemos , então .
Escolhemos , então .

Passo 8

Aplicando a fórmula:
Voltando para a etapa anterior:

Passo 9

Agora, substituímos de volta:

Passo 10

Voltando à primeira aplicação:

Passo 11

Agora, avaliamos a integral definida de 1 a 3:
Calculando para :
Calculando para :

Resposta

A integral é igual a .

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em torno
Calcule a integral.