Encontre o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
em torno

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume gerado ao girar a região delimitada pelas curvas , , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método de cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar essa região em torno do eixo . Imagine que você tem a região no plano cartesiano e vai girá-la em torno da linha vertical . Isso vai formar um sólido de revolução.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando o eixo de rotação é paralelo ao eixo das integrais (no nosso caso, o eixo x). A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas é:
Onde:
  • é a distância do elemento de área ao eixo de rotação.
  • é a altura da casca cilíndrica, que aqui corresponde a .

Passo 4

Vamos identificar e . Como estamos girando em torno de , a distância de um ponto qualquer até é:
A altura da casca é a função :

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração. A região está entre e , então esses serão os nossos limites:

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos resolver essa integral. Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Agora, resolvemos cada termo separadamente.

Passo 8

Integral de :
Integral de usando integração por partes:

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração:
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:

Passo 10

Avaliaremos nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

Portanto, o volume gerado é:

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