Encontre o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
em torno
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume gerado ao girar a região delimitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método de cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar essa região em torno do eixo
. Imagine que você tem a região no plano cartesiano e vai girá-la em torno da linha vertical
. Isso vai formar um sólido de revolução.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando o eixo de rotação é paralelo ao eixo das integrais (no nosso caso, o eixo x). A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas é:
Onde:
-
é a distância do elemento de área ao eixo de rotação. -
é a altura da casca cilíndrica, que aqui corresponde a .
Passo 4
Vamos identificar
e
. Como estamos girando em torno de
, a distância
de um ponto qualquer
até
é:
A altura
da casca é a função
:
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração. A região está entre
e
, então esses serão os nossos limites:
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos resolver essa integral. Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Agora, resolvemos cada termo separadamente.
Passo 8
Integral de
:
Integral de
usando integração por partes:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração:
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Passo 10
Avaliaremos nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
Portanto, o volume gerado é:
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Calcule a integral:
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
Calcule a integral.
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