Calcule a integral. integral0^pi / 6 t sen 2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como separar a função em partes que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes: . Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

Vamos definir:
  • (porque a derivada de é simples)
Agora, precisamos encontrar e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t cdot sin(2t) , dt = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= t cdot (-12 cos(2t)) - integral (-12 cos(2t)) cdot dt
= -t2 cos(2t) + 12 integral cos(2t) , dt

Passo 5

Agora, vamos resolver integral cos(2t) , dt = 12 sin(2t) + C :
-t2 cos(2t) + 12 cdot 12 sin(2t) + C
Então, substituindo de volta:
= -t2 cos(2t) + 14 sin(2t) + C

Passo 6

Como temos uma integral definida de 0 a -pi12 cos(pi3) + 14 sin(pi3) , vamos calcular os valores nos limites:
Para -pi12 cdot 12 + 14 cdot raiz32 = -pi24 + raiz38 :
-0 cdot cos(0) + 14 sin(0) = 0
Sabendo que e :
Para :

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
-pi24 + raiz38

Exercícios relacionados