Use a Regra do Trapézio com n=10 para aproximar a integral dada. Arredonde seus resultados para seis casas decimais. integral1^4 raizx cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente precisa aproximar a integral de raizx cos x de x = 1 até x = 4 usando a Regra do Trapézio com n = 10 intervalos. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente de métodos numéricos para aproximação de integrais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Regra do Trapézio e calcular os valores necessários passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra do Trapézio. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em n subintervalos iguais e calculando a média das áreas dos trapézios formados em cada subintervalo. A fórmula é:
integrala^b f(x) , dx approx h2 [ f(a) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(b) ]
onde:
  • h = b - an é o tamanho de cada subintervalo,
  • xi = a + i cdot h são os pontos de divisão.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Limite inferior a = 1
  • Limite superior b = 4
  • Número de intervalos n = 10
Primeiro, calculamos o tamanho de cada subintervalo h:
h = 4 - 110 = 310 = 0,3

Passo 4

Agora, vamos determinar os pontos xi para cada subintervalo:
x0 = 1,0 x1 = 1,0 + 0,3 = 1,3 x2 = 1,0 + 2 cdot 0,3 = 1,6 x3 = 1,0 + 3 cdot 0,3 = 1,9 x4 = 1,0 + 4 cdot 0,3 = 2,2 x5 = 1,0 + 5 cdot 0,3 = 2,5 x6 = 1,0 + 6 cdot 0,3 = 2,8 x7 = 1,0 + 7 cdot 0,3 = 3,1 x8 = 1,0 + 8 cdot 0,3 = 3,4 x9 = 1,0 + 9 cdot 0,3 = 3,7 x10 = 1,0 + 10 cdot 0,3 = 4,0

Passo 5

Vamos calcular f(x) = raizx cos x para cada um desses pontos:
f(1,0) &= raiz1,0 cdot cos(1,0) approx 1,000000 cdot 0,540302 approx 0,540302 f(1,3) &= raiz1,3 cdot cos(1,3) approx 1,140175 cdot 0,267499 approx 0,305089 f(1,6) &= raiz1,6 cdot cos(1,6) approx 1,264911 cdot (-0,029199) approx -0,036927 f(1,9) &= raiz1,9 cdot cos(1,9) approx 1,378405 cdot (-0,323288) approx -0,445030 f(2,2) &= raiz2,2 cdot cos(2,2) approx 1,483240 cdot (-0,588501) approx -0,874992 f(2,5) &= raiz2,5 cdot cos(2,5) approx 1,581139 cdot (-0,801144) approx -1,266754 f(2,8) &= raiz2,8 cdot cos(2,8) approx 1,673320 cdot (-0,949747) approx -1,588265 f(3,1) &= raiz3,1 cdot cos(3,1) approx 1,760682 cdot (-0,999135) approx -1,758450 f(3,4) &= raiz3,4 cdot cos(3,4) approx 1,843909 cdot (-0,275163) approx -0,506679 f(3,7) &= raiz3,7 cdot cos(3,7) approx 1,923538 cdot (-0,837944) approx -1,612695 f(4,0) &= raiz4,0 cdot cos(4,0) approx 2,000000 cdot (-0,653644) approx -1,307287

Passo 6

Agora, vamos aplicar a fórmula da Regra do Trapézio:
integral1^4 raizx cos x , dx approx 0,32 [ f(1,0) + 2 sumi=1^9 f(xi) + f(4,0) ]
Primeiro, somamos os valores de f(xi) de i = 1 a 9:
sumi=1^9 f(xi) &= 0,305089 + (-0,036927) + (-0,445030) + (-0,874992) + (-1,266754) & + (-1,588265) + (-1,758450) + (-0,506679) + (-1,612695) &= -7,784703
Agora, substituímos na fórmula:
integral1^4 raizx cos x , dx &approx 0,32 [ 0,540302 + 2 cdot (-7,784703) + (-1,307287) ] &= 0,15 [ 0,540302 - 15,569406 - 1,307287 ] &= 0,15 cdot (-16,336391) &approx -2,45045885

Resposta

A aproximação da integral usando a Regra do Trapézio com n = 10 é aproximadamente boxed-2,450459.

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