Calcule a integral. integral sec ^6 thetatg^2 theta d theta

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que integral sec^6 thetatan^2 theta dtheta = integral (1cos theta)^6(sin thetacos theta)^2 dtheta = integral 1cos^6 thetasin^2 thetacos^2 theta dtheta e . Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 3

Simplificando a fração, temos:
1cos^6 thetasin^2 thetacos^2 theta = 1cos^6 theta times cos^2 thetasin^2 theta = cos^2 thetacos^6 theta cdot sin^2 theta = 1cos^4 theta cdot sin^2 theta
Mas isso ainda parece complicado, então vamos tentar uma substituição.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Sabemos que a derivada de é , ou seja, , o que nos dá .

Passo 5

Agora, substituindo na integral original:
integral sec^6 thetatan^2 theta dtheta = integral sec^6 thetau^2 cdot dusec^2 theta = integral sec^4 thetau^2 du
Sabemos que , então .

Passo 6

Substituindo isso na integral:
integral sec^4 thetau^2 du = integral (1 + u^2)^2u^2 du = integral (1u^2 + 2 + u^2) du

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1u^2 du = -1u integral 2 du = 2u integral u^2 du = u^33
Então, a integral fica:
-1u + 2u + u^33 + C

Passo 8

Finalmente, voltamos à variável original -1tan theta + 2tan theta + tan^3 theta3 + C , lembrando que :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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