Calcule a integral.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que e . Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 3

Simplificando a fração, temos:
Mas isso ainda parece complicado, então vamos tentar uma substituição.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Sabemos que a derivada de é , ou seja, , o que nos dá .

Passo 5

Agora, substituindo na integral original:
Sabemos que , então .

Passo 6

Substituindo isso na integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:

Passo 8

Finalmente, voltamos à variável original , lembrando que :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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