Calcule a integral. integral x+19 x^2+6 x+5 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral x+19 x^2+6 x+5 , dx. Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica onde o numerador é um polinômio de primeiro grau e o denominador é um polinômio de segundo grau. Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de integração de frações racionais, como completar o quadrado e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Olhe só:
9x^2 + 6x + 5
Vamos fatorar o 9 do termo x^2:
9(x^2 + 23x) + 5
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
x^2 + 23x = (x + 13)^2 - 19
Substituindo de volta:
9((x + 13)^2 - 19) + 5 = 9(x + 13)^2 - 1 + 5 = 9(x + 13)^2 + 4

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja u = x + 13. Então, du = dx. Substituindo na integral:
integral u + 239u^2 + 4 , du

Passo 4

Vamos separar a fração em duas partes:
integral u9u^2 + 4 , du + integral 239u^2 + 4 , du

Passo 5

Para a primeira integral integral u9u^2 + 4 , du, note que o numerador é a derivada do denominador (até uma constante). Então, podemos usar a fórmula:
integral f'(u)f(u) , du = 12 ln|9u^2 + 4| + C

Passo 6

Agora, para a segunda integral integral 239u^2 + 4 , du, reconhecemos a forma da integral arctangente. Sabemos que:
integral 1a^2u^2 + b^2 , du = 1ab tan^-1(a ub) + C
Aqui, a^2 = 9 então a = 3, e b^2 = 4 então b = 2. Aplicando:
23 cdot 16 tan^-1(3u2) = 19 tan^-1(3u2) + C

Passo 7

Somando as duas partes integradas:
12 ln|9u^2 + 4| + 19 tan^-1(3u2) + C
Finalmente, substituímos u = x + 13 de volta:

Resposta

12 ln|9(x + 13)^2 + 4| + 19 tan^-1(3(x + 13)2) + C

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