Calcule a integral.
Passo 1
Vamos calcular a integral
. Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica onde o numerador é um polinômio de primeiro grau e o denominador é um polinômio de segundo grau. Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de integração de frações racionais, como completar o quadrado e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Olhe só:
Vamos fatorar o 9 do termo
:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja
. Então,
. Substituindo na integral:
Passo 4
Vamos separar a fração em duas partes:
Passo 5
Para a primeira integral
, note que o numerador é a derivada do denominador (até uma constante). Então, podemos usar a fórmula:
Passo 6
Agora, para a segunda integral
, reconhecemos a forma da integral arctangente. Sabemos que:
Aqui,
então
, e
então
. Aplicando:
Passo 7
Somando as duas partes integradas:
Finalmente, substituímos
de volta: