Calcule a integral.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica onde o numerador é um polinômio de primeiro grau e o denominador é um polinômio de segundo grau. Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de integração de frações racionais, como completar o quadrado e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Olhe só:
Vamos fatorar o 9 do termo :
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja . Então, . Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos separar a fração em duas partes:

Passo 5

Para a primeira integral , note que o numerador é a derivada do denominador (até uma constante). Então, podemos usar a fórmula:

Passo 6

Agora, para a segunda integral , reconhecemos a forma da integral arctangente. Sabemos que:
Aqui, então , e então . Aplicando:

Passo 7

Somando as duas partes integradas:
Finalmente, substituímos de volta:

Resposta

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