Calcule a integral. integral0^pi / 4 tg^4 t d t

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de de a . Isso envolve o conteúdo de cálculo, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar tan^4 t = (tan^2 t)^2 = (sec^2 t - 1)^2 = sec^4 t - 2sec^2 t + 1 . Sabemos que . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral usando essa expressão:
integral0^pi4 tan^4 t , dt = integral0^pi4 (sec^4 t - 2sec^2 t + 1) , dt

Passo 4

Vamos separar a integral em três partes:
integral sec^4 t , dt - 2integral sec^2 t , dt + integral 1 , dt

Passo 5

Integrando cada termo:

Passo 6

Substituindo as integrais:
[ tan t + tan^3 t3 ] - 2[ tan t ] + t + C = -tan t + tan^3 t3 + t + C

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor definido de -tan(pi4) + tan^3(pi4)3 + pi4 = -1 + 13 + pi4 a -tan(0) + tan^3(0)3 + 0 = 0 + 0 + 0 = 0 :
Para :
Para :

Resposta

O valor da integral é .

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