Determine, se possível, o valor da constante a para que
lim x 0^+ raiz[ln (x+1)]1+a ln (x+1)=lim x 0 x sen^2(x)3 tg^3(x) cos (x)

Passo 1

Vamos lá, o exercício pede para encontrar o valor da constante de modo que dois limites sejam iguais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites, logaritmos e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite do lado esquerdo:
limx to 0^+ raiz[ln(x+1)]1 + a ln(x+1)
Isso pode ser reescrito como:
limx to 0^+ (1 + a ln(x+1))^1ln(x+1)

Passo 3

Sabemos que limx to 0^+ (1 + a ln(x+1))^1ln(x+1) = e^a . Aplicando isso aqui, temos:
Então, o limite do lado esquerdo é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite do lado direito:
limx to 0 x sin^2(x)3 tan^3(x) cos(x)
Para facilitar, vamos usar aproximações para sin(x) approx x, tan(x) approx x, cos(x) approx 1 próximo de 0:

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão do limite:
x cdot x^23 cdot x^3 cdot 1 = x^33x^3 = 13
Portanto, o limite do lado direito é .

Resposta

Para que os dois limites sejam iguais, devemos ter:
e^a = 13
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
a = ln(13) = -ln(3)
Então, o valor da constante é .

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