Determine, se possível, o valor da constante
para que
Passo 1
Vamos lá, o exercício pede para encontrar o valor da constante
de modo que dois limites sejam iguais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites, logaritmos e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite do lado esquerdo:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 3
Sabemos que
. Aplicando isso aqui, temos:
Então, o limite do lado esquerdo é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite do lado direito:
Para facilitar, vamos usar aproximações para
próximo de 0:
Passo 5
Substituindo essas aproximações na expressão do limite:
Portanto, o limite do lado direito é
.
Resposta
Para que os dois limites sejam iguais, devemos ter:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Então, o valor da constante
é
.