lim x 0 3 x^22 e^x-2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0 3 x^22 e^x-2. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre limites que apresentam formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites do tipo 00 ou inftyinfty.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador quando x se aproxima de 0:
  • Numerador: 3x^2 0 quando x 0.
  • Denominador: 2 e^x - 2 2(1) - 2 = 0 quando x 0.
Como ambos tendem a 0, temos uma forma indeterminada 00, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a x:
  • Derivada do numerador: ddx(3x^2) = 6x.
  • Derivada do denominador: ddx(2 e^x - 2) = 2 e^x.
Agora, o limite fica:
lim x 0 6x2 e^x

Passo 4

Vamos calcular esse novo limite substituindo x = 0:
6 cdot 02 e^0 = 02 cdot 1 = 0

Resposta

O limite é 0.

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