Calcule a integral.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular essa integral aqui: . Esse exercício envolve funções trigonométricas elevadas a potências, especificamente a tangente ( ) e a secante ( ). Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é super útil para integrais mais complicadas como essa. Então, bora lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da tangente de é a secante ao quadrado de :
Isso é importante porque vai nos ajudar a fazer a substituição certa na nossa integral.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de . Substituindo e , temos:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Então:

Passo 5

Substituindo na integral, ficamos com:
Agora, vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos nos ater aos limites.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original e aplicar os limites de integração. Lembrando que , quando:
  • :
  • :
Então, nossa expressão integrada fica:

Passo 8

Vamos calcular isso substituindo e :
Para :
Calculando cada termo:
Somando:
Para , todos os termos serão zero.

Resposta

A integral é igual a 49,05.

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