Beleza! Vamos calcular essa integral aqui: . Esse exercício envolve funções trigonométricas elevadas a potências, especificamente a tangente () e a secante (). Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é super útil para integrais mais complicadas como essa. Então, bora lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da tangente de é a secante ao quadrado de :
Isso é importante porque vai nos ajudar a fazer a substituição certa na nossa integral.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de . Substituindo e , temos:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Então:
Passo 5
Substituindo na integral, ficamos com:
Agora, vamos expandir :
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos nos ater aos limites.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original e aplicar os limites de integração. Lembrando que , quando: