Calcule a integral.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular essa integral aqui:
. Esse exercício envolve funções trigonométricas elevadas a potências, especificamente a tangente (
) e a secante (
). Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é super útil para integrais mais complicadas como essa. Então, bora lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da tangente de
é a secante ao quadrado de
:
Isso é importante porque vai nos ajudar a fazer a substituição certa na nossa integral.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de
. Substituindo
e
, temos:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Então:
Passo 5
Substituindo
na integral, ficamos com:
Agora, vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos nos ater aos limites.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
e aplicar os limites de integração. Lembrando que
, quando:
-
: -
:
Então, nossa expressão integrada fica:
Passo 8
Vamos calcular isso substituindo
e
:
Para :
Para
Calculando cada termo:
Somando:
Para
, todos os termos serão zero.
Resposta
A integral
é igual a 49,05.