Calcule a integral. integral0^pi / 3 tg^5 x sec ^6 x d x

Passo 1

Beleza! Vamos calcular essa integral aqui: . Esse exercício envolve funções trigonométricas elevadas a potências, especificamente a tangente ( ) e a secante ( ). Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é super útil para integrais mais complicadas como essa. Então, bora lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da tangente de ddx tan x = sec^2 x é a secante ao quadrado de :
Isso é importante porque vai nos ajudar a fazer a substituição certa na nossa integral.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar:
u = tan x
Então, derivando ambos os lados em relação a du = sec^2 x , dx ou dx = dusec^2 x :

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral tan^5 x sec^6 x , dx = integral u^5 sec^6 x cdot dusec^2 x = integral u^5 sec^4 x , du . Substituindo sec^2 x = 1 + tan^2 x = 1 + u^2 e sec^4 x = (sec^2 x)^2 = (1 + u^2)^2 , temos:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Então:

Passo 5

Substituindo integral u^5 (1 + u^2)^2 , du na integral, ficamos com:
(1 + u^2)^2 = 1 + 2u^2 + u^4
Agora, vamos expandir integral u^5 (1 + 2u^2 + u^4) , du = integral ( u^5 + 2u^7 + u^9 ) du :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^5 , du = u^66
integral 2u^7 , du = 2 cdot u^88 = u^84
integral u^9 , du = u^1010
Então, a integral completa é:
u^66 + u^84 + u^1010 + C
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos nos ater aos limites.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original [ u^66 + u^84 + u^1010 ]0^raiz3 e aplicar os limites de integração. Lembrando que , quando:
  • :
  • :
Então, nossa expressão integrada fica:

Passo 8

Vamos calcular isso substituindo (raiz3)^66 + (raiz3)^84 + (raiz3)^1010 = 276 + 814 + 24310 e 276 = 4.5, 814 = 20.25, 24310 = 24.3 :
Para 4.5 + 20.25 + 24.3 = 49.05 :
Calculando cada termo:
Somando:
Para , todos os termos serão zero.

Resposta

A integral é igual a 49,05.

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