Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o domínio, a imagem e esboçarmos o gráfico da função , que é definida por partes:
Vamos usar conhecimentos de funções por partes, domínio (valores de entrada possíveis) e imagem (valores de saída possíveis) para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Observando a definição da função por partes:
  • Para , a função está definida como .
  • Para , está definida como .
  • Para , está definida como .
Não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos, então a função está definida para todos os números reais.
Domínio: (todos os números reais).

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função , que são todos os possíveis valores de saída da função.
Analisando cada parte:
  1. Para :
    • Como é negativo, será positivo.
    • Valores possíveis: .
  2. Para :
    • varia de a .
    • Valores possíveis: .
  3. Para :
    • Apenas o valor .
Juntando tudo:
  • Para , .
  • De a , vai de a .
  • Para , .
Portanto, a imagem é , ou seja, todos os números reais não negativos.
Imagem: .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função .
  1. Para :
    • A função é , que é uma reta decrescente com inclinação negativa.
    • Passa pela origem (0,0).
  2. Para :
    • A função é , uma parábola que abre para cima.
    • No ponto , .
    • No ponto , .
  3. Para :
    • A função é constante .
    • Linha horizontal no valor .
Passos para o esboço:
  • Desenhe a reta para .
  • Desenhe a parábola para .
  • Desenhe a linha horizontal para .
Certifique-se de que as transições nos pontos e sejam suaves e que todas as partes se conectem corretamente.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais, .
  • Imagem: Todos os números reais não negativos, .
  • Gráfico: Consiste em uma reta decrescente para , uma parábola para e uma linha horizontal para .

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