Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o domínio, a imagem e esboçarmos o gráfico da função , que é definida por partes:
Vamos usar conhecimentos de funções por partes, domínio (valores de entrada possíveis) e imagem (valores de saída possíveis) para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Observando a definição da função por partes:
Para , a função está definida como .
Para , está definida como .
Para , está definida como .
Não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos, então a função está definida para todos os números reais.
Domínio: (todos os números reais).
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função , que são todos os possíveis valores de saída da função.
Analisando cada parte:
Para :
Como é negativo, será positivo.
Valores possíveis: .
Para :
varia de a .
Valores possíveis: .
Para :
Apenas o valor .
Juntando tudo:
Para , .
De a , vai de a .
Para , .
Portanto, a imagem é , ou seja, todos os números reais não negativos.
Imagem: .
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função .
Para :
A função é , que é uma reta decrescente com inclinação negativa.
Passa pela origem (0,0).
Para :
A função é , uma parábola que abre para cima.
No ponto , .
No ponto , .
Para :
A função é constante .
Linha horizontal no valor .
Passos para o esboço:
Desenhe a reta para .
Desenhe a parábola para .
Desenhe a linha horizontal para .
Certifique-se de que as transições nos pontos e sejam suaves e que todas as partes se conectem corretamente.
Resposta
Domínio: Todos os números reais, .
Imagem: Todos os números reais não negativos, .
Gráfico: Consiste em uma reta decrescente para , uma parábola para e uma linha horizontal para .