Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos a função e precisamos determinar:
  1. Domínio: os valores de para os quais a função está definida.
  2. Imagem: os valores que pode assumir.
  3. Esboço do Gráfico: uma representação visual da função.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções racionais (envolvendo divisão) e valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma divisão por , precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois a divisão por zero não é permitida.
Então, .
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto zero, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função para facilitar a análise da imagem e do gráfico.
A função dada é:
Vamos analisar o valor absoluto . O valor absoluto de depende se é positivo ou negativo.
  • Caso 1:
    Nesse caso, . Então:
  • Caso 2:
    Aqui, . Então:
Portanto, a função assume apenas dois valores: 4 quando e 2 quando .
Assim, a imagem da função é:

Passo 4

Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função.
Sabemos que:
  • Para , . Isso é uma linha horizontal no nível 4, válida para todos os positivos.
  • Para , . Isso é uma linha horizontal no nível 2, válida para todos os negativos.
  • Em , a função não está definida, então temos uma assíntota vertical em .
Portanto, o gráfico consiste em duas linhas horizontais, uma em para e outra em para , com uma lacuna em .

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Gráfico: Duas linhas horizontais, uma em para e outra em para , com uma lacuna em .

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