Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos a função e precisamos determinar:
Domínio: os valores de para os quais a função está definida.
Imagem: os valores que pode assumir.
Esboço do Gráfico: uma representação visual da função.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções racionais (envolvendo divisão) e valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma divisão por , precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois a divisão por zero não é permitida.
Então, .
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto zero, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função para facilitar a análise da imagem e do gráfico.
A função dada é:
Vamos analisar o valor absoluto . O valor absoluto de depende se é positivo ou negativo.
Caso 1:
Nesse caso, . Então:
Caso 2:
Aqui, . Então:
Portanto, a função assume apenas dois valores: 4 quando e 2 quando .
Assim, a imagem da função é:
Passo 4
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função.
Sabemos que:
Para , . Isso é uma linha horizontal no nível 4, válida para todos os positivos.
Para , . Isso é uma linha horizontal no nível 2, válida para todos os negativos.
Em , a função não está definida, então temos uma assíntota vertical em .
Portanto, o gráfico consiste em duas linhas horizontais, uma em para e outra em para , com uma lacuna em .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: Duas linhas horizontais, uma em para e outra em para , com uma lacuna em .