Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos a função
e precisamos determinar:
- Domínio: os valores de
para os quais a função está definida. - Imagem: os valores que
pode assumir. - Esboço do Gráfico: uma representação visual da função.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções racionais (envolvendo divisão) e valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma divisão por
, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois a divisão por zero não é permitida.
Então,
.
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto zero, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função para facilitar a análise da imagem e do gráfico.
A função dada é:
Vamos analisar o valor absoluto
. O valor absoluto de
depende se
é positivo ou negativo.
-
Caso 1:Nesse caso,
. Então: -
Caso 2:Aqui,
. Então:
Portanto, a função
assume apenas dois valores: 4 quando
e 2 quando
.
Assim, a imagem da função é:
Passo 4
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função.
Sabemos que:
- Para
, . Isso é uma linha horizontal no nível 4, válida para todos os positivos. - Para
, . Isso é uma linha horizontal no nível 2, válida para todos os negativos. - Em
, a função não está definida, então temos uma assíntota vertical em .
Portanto, o gráfico consiste em duas linhas horizontais, uma em
para
e outra em
para
, com uma lacuna em
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Gráfico: Duas linhas horizontais, uma em
para e outra em para , com uma lacuna em .