Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral envolvendo uma função trigonométrica elevada a uma potência. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que . Então, podemos reescrever como , ou seja:

Passo 3

Agora, vamos expandir usando a fórmula do binômio de Newton:
Então, a integral fica assim:

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
Cada uma dessas integrais requer técnicas específicas. Vamos resolver uma a uma.

Passo 5

Para , usamos a identidade de redução:
Aplicando para :

Passo 6

Para , aplicamos a mesma identidade com :
Sabemos que .

Passo 7

Agora, substituímos tudo de volta:
Simplificando:

Passo 8

Agora, voltando à integral original:
Simplificando os termos:

Passo 9

Finalmente, agrupando os termos semelhantes, chegamos à resposta simplificada:

Resposta

A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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