Calcule a integral. integral tg^6(a y) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral envolvendo uma função trigonométrica elevada a uma potência. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão tan^6(a y) = (sec^2(a y) - 1)^3 . Sabemos que . Então, podemos reescrever como , ou seja:

Passo 3

Agora, vamos expandir (sec^2(a y) - 1)^3 = sec^6(a y) - 3sec^4(a y) + 3sec^2(a y) - 1 usando a fórmula do binômio de Newton:
integral tan^6(a y) , dy = integral ( sec^6(a y) - 3sec^4(a y) + 3sec^2(a y) - 1 ) dy
Então, a integral fica assim:

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
Cada uma dessas integrais requer técnicas específicas. Vamos resolver uma a uma.

Passo 5

Para integral sec^n(x) , dx = sec^n-2(x)tan(x)n-1 + n-2n-1 integral sec^n-2(x) , dx , usamos a identidade de redução:
integral sec^6(a y) , dy = sec^4(a y)tan(a y)5a + 45 integral sec^4(a y) , dy
Aplicando para :

Passo 6

Para integral sec^4(a y) , dy = sec^2(a y)tan(a y)3a + 23 integral sec^2(a y) , dy , aplicamos a mesma identidade com :
Sabemos que .

Passo 7

Agora, substituímos tudo de volta:
integral sec^6(a y) , dy = sec^4(a y)tan(a y)5a + 45 ( sec^2(a y)tan(a y)3a + 23 cdot tan(a y)a )
Simplificando:
integral sec^6(a y) , dy = sec^4(a y)tan(a y)5a + 4sec^2(a y)tan(a y)15a + 8tan(a y)15a + C

Passo 8

Agora, voltando à integral original:
integral tan^6(a y) , dy = ( sec^4(a y)tan(a y)5a + 4sec^2(a y)tan(a y)15a + 8tan(a y)15a ) - 3 ( sec^2(a y)tan(a y)3a + 2tan(a y)3a ) + 3 cdot tan(a y)a - y + C
Simplificando os termos:
integral tan^6(a y) , dy = sec^4(a y)tan(a y)5a + 4sec^2(a y)tan(a y)15a + 8tan(a y)15a - sec^2(a y)tan(a y)a - 2tan(a y)a + 3tan(a y)a - y + C

Passo 9

Finalmente, agrupando os termos semelhantes, chegamos à resposta simplificada:
integral tan^6(a y) , dy = sec^4(a y)tan(a y)5a - sec^2(a y)tan(a y)3a + 8tan(a y)15a - y + C

Resposta

A integral de integral tan^6(a y) , dy = sec^4(a y)tan(a y)5a - sec^2(a y)tan(a y)3a + 8tan(a y)15a - y + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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