Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais definidas, utilizando conceitos de trigonometria e integração por partes. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a integração por partes e manipular funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Observamos que pode ser reescrita em termos de funções trigonométricas conhecidas:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos definir:

Passo 4

Vamos encontrar integrando . Para isso, fazemos uma substituição:
Então, a integral de fica:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos resolver a integral . Sabemos que:
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão principal:
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Resposta

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Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.