Calcule a integral. integral0^pi / 4 x sen xcos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais definidas, utilizando conceitos de trigonometria e integração por partes. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a integração por partes e manipular funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Observamos que pode ser reescrita em termos de funções trigonométricas conhecidas:
Então, a integral fica:
sen xcos^3 x = tan x sec^2 x

Passo 3

Agora, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos definir:
u = x Rightarrow du = dx
dv = tan x sec^2 x , dx Rightarrow v = integral tan x sec^2 x , dx

Passo 4

Vamos encontrar usub = tan x Rightarrow dusub = sec^2 x , dx integrando v = integral usub , dusub = usub^22 + C = tan^2 x2 + C . Para isso, fazemos uma substituição:
Então, a integral de fica:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral0^pi /4 x tan x sec^2 x , dx = x tan^2 x2 |0^pi /4 - 12 integral0^pi /4 tan^2 x , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral tan^2 x = sec^2 x - 1 . Sabemos que:
integral tan^2 x , dx = integral (sec^2 x - 1) , dx = tan x - x + C
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão principal:
x tan^2 x2 - 12 (tan x - x) gr|0^pi /4
Simplificando:
x tan^2 x2 - tan x2 + x2 gr|0^pi /4

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
Para tan(pi4) = 1 :
pi4 cdot 1^22 - 12 + pi42 = pi8 - 12 + pi8 = pi4 - 12
tan(0) = 0
Para 0 cdot 0^22 - 02 + 02 = 0 :

Resposta

pi4 - 12

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