Calcule a integral integral0^2 pi[sen(t) i+cos (2 t) j-t^2 k] d t.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais de funções vetoriais. Vamos precisar integrar cada componente do vetor separadamente usando técnicas de cálculo básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma integral de um vetor, a gente pode integrar cada componente do vetor individualmente. Então, nossa integral fica assim:
integral0^2 pi sin(t) i , dt + integral0^2 pi cos(2t) j , dt + integral0^2 pi (-t^2) k , dt

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira componente, que é integral0^2 pi sin(t) , dt na direção -cos(t) |0^2pi = -cos(2pi) + cos(0) = -1 + 1 = 0 :
A integral de é . Então:
Então, a componente é .

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda componente, que é integral0^2 pi cos(2t) , dt na direção 12sin(2t) |0^2pi = 12(sin(4pi) - sin(0)) = 12(0 - 0) = 0 :
A integral de é . Então:
Então, a componente também é .

Passo 5

Por fim, vamos integrar a terceira componente, que é integral0^2 pi (-t^2) , dt = -integral0^2 pi t^2 , dt na direção -( t^33 |0^2pi ) = -( (2pi)^33 - 0 ) = -8pi^33 :
A integral de é . Então:
Portanto, a componente é .

Resposta

A integral calculada é igual a:
0 i + 0 j - 8pi^33 k

Exercícios relacionados