Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
.
Passo 1
Beleza! Temos duas funções
e
que vão de um intervalo
dos números reais para o espaço tridimensional
. A gente também tem uma função
que é diferenciável. A missão aqui é mostrar como derivar o produto interno dessas duas funções em relação a
. Pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona a derivada de um produto interno entre funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar que o produto interno
significa simplesmente o produto ponto entre
e
. Isso é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes desses vetores:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada desse produto interno em relação a
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos aplicar a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz que a derivada de
é
. Vamos aplicar isso a cada termo do nosso produto interno:
Passo 5
Agora, vamos organizar esses termos de forma que fiquem agrupados com
e
, e
e
:
Passo 6
Reconhecendo que cada parêntese representa um produto interno, podemos escrever de forma compacta:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.6.
Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso.
.
Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde
é a taxa de nascimento dos peixes,
é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e
é a percentagem da população que é colhida.
O que acontece se é elevado a
?
O que acontece se
Calcule a integral
.