Sejam duas funções diferenciais e uma função diferenciável. Mostre que .

Passo 1

Beleza! Temos duas funções e que vão de um intervalo dos números reais para o espaço tridimensional . A gente também tem uma função que é diferenciável. A missão aqui é mostrar como derivar o produto interno dessas duas funções em relação a . Pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona a derivada de um produto interno entre funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar que o produto interno significa simplesmente o produto ponto entre e . Isso é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes desses vetores:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada desse produto interno em relação a , ou seja, .

Passo 4

Vamos aplicar a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz que a derivada de é . Vamos aplicar isso a cada termo do nosso produto interno:

Passo 5

Agora, vamos organizar esses termos de forma que fiquem agrupados com e , e e :

Passo 6

Reconhecendo que cada parêntese representa um produto interno, podemos escrever de forma compacta:

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Define-se a convolução de duas funções e por
6.6.
Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso. .
Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde é a taxa de nascimento dos peixes, é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e é a percentagem da população que é colhida.
O que acontece se é elevado a ?
Calcule a integral .