Sejam f, g: I ⊆ R → R^3 duas funções diferenciais e alpha: I ⊆ R → R uma função diferenciável. Mostre que d/dt < f(t), g(t) > = < f'(t), g(t) > + < f(t), g'(t) >.

Passo 1

Beleza! Temos duas funções e que vão de um intervalo dos números reais para o espaço tridimensional . A gente também tem uma função que é diferenciável. A missão aqui é mostrar como derivar o produto interno dessas duas funções em relação a . Pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona a derivada de um produto interno entre funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar que o produto interno significa simplesmente o produto ponto entre e . Isso é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes desses vetores:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada desse produto interno em relação a , ou seja, .

Passo 4

Vamos aplicar a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz que a derivada de é . Vamos aplicar isso a cada termo do nosso produto interno:

Passo 5

Agora, vamos organizar esses termos de forma que fiquem agrupados com e , e e :

Passo 6

Reconhecendo que cada parêntese representa um produto interno, podemos escrever de forma compacta:

Resposta

Assim, mostramos que:

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