Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde é a taxa de nascimento dos peixes, é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e é a percentagem da população que é colhida.
O que acontece se é elevado a ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma fazenda de piscicultura onde uma população de peixes é mantida em um lago. A variação dessa população ao longo do tempo é descrita por uma equação diferencial que leva em conta a taxa de nascimento dos peixes, a capacidade de suporte do lago e a porcentagem da população que é colhida. Nosso objetivo aqui é entender o que acontece com a população de peixes quando a porcentagem de colheita, representada por , é aumentada para 5%. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre modelos de crescimento populacional e como as taxas de colheita influenciam esse crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Aqui, representa a taxa de variação da população de peixes ao longo do tempo. A primeira parte da equação, , é conhecida como a equação logística, que descreve o crescimento populacional limitado pela capacidade de suporte do ambiente. A segunda parte, , representa a taxa de colheita, ou seja, a porcentagem da população que é retirada do lago.

Passo 3

Para entender o que acontece quando aumenta para 5%, precisamos encontrar os pontos de equilíbrio da população, ou seja, os valores de onde . Isso significa que a população está estável, sem crescimento ou declínio.
Então, igualamos a equação a zero:
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:
  1. (extinção da população)
Resolvendo a segunda equação para :

Passo 4

Agora, vamos interpretar essas soluções:
  1. : Significa que a população de peixes está extinta.
  2. : Esse é o ponto de equilíbrio positivo, onde a população de peixes se estabiliza.
Para que esse ponto de equilíbrio positivo seja válido, é necessário que , ou seja, . Isso garante que a população não exceda a capacidade de suporte do lago.

Passo 5

Agora, vamos analisar o efeito de aumentar para 5%. Supondo que seja a taxa de nascimento dos peixes, ao aumentar para 5%, estamos aumentando a taxa de colheita. Isso implica que uma maior porcentagem da população está sendo retirada do lago regularmente.
Substituindo (5%) na equação do ponto de equilíbrio positivo:
Isso mostra que, ao aumentar , o termo aumenta, o que diminui o valor de . Ou seja, a população de peixes se estabiliza em um valor menor.

Resposta

Ao aumentar a taxa de colheita para 5%, a população de peixes no lago diminui, estabilizando-se em um valor menor que a capacidade de suporte do lago. Isso significa que uma maior porcentagem da população está sendo retirada, reduzindo significativamente o número de peixes mantidos no ambiente.

Exercícios relacionados

Sejam duas funções diferenciais e uma função diferenciável. Mostre que .
Define-se a convolução de duas funções e por
6.6.
Calcule a integral .
Determine a função derivada das funções a seguir: (1 ponto)