Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde
é a taxa de nascimento dos peixes,
é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e
é a percentagem da população que é colhida.
O que acontece se
é elevado a
?
O que acontece se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma fazenda de piscicultura onde uma população de peixes é mantida em um lago. A variação dessa população ao longo do tempo é descrita por uma equação diferencial que leva em conta a taxa de nascimento dos peixes, a capacidade de suporte do lago e a porcentagem da população que é colhida. Nosso objetivo aqui é entender o que acontece com a população de peixes quando a porcentagem de colheita, representada por
, é aumentada para 5%. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre modelos de crescimento populacional e como as taxas de colheita influenciam esse crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Aqui,
representa a taxa de variação da população de peixes ao longo do tempo. A primeira parte da equação,
, é conhecida como a equação logística, que descreve o crescimento populacional limitado pela capacidade de suporte
do ambiente. A segunda parte,
, representa a taxa de colheita, ou seja, a porcentagem da população que é retirada do lago.
Passo 3
Para entender o que acontece quando
aumenta para 5%, precisamos encontrar os pontos de equilíbrio da população, ou seja, os valores de
onde
. Isso significa que a população está estável, sem crescimento ou declínio.
Então, igualamos a equação a zero:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
-
(extinção da população) -
Resolvendo a segunda equação para
:
Passo 4
Agora, vamos interpretar essas soluções:
-
: Significa que a população de peixes está extinta. -
: Esse é o ponto de equilíbrio positivo, onde a população de peixes se estabiliza.
Para que esse ponto de equilíbrio positivo seja válido, é necessário que
, ou seja,
. Isso garante que a população não exceda a capacidade de suporte do lago.
Passo 5
Agora, vamos analisar o efeito de aumentar
para 5%. Supondo que
seja a taxa de nascimento dos peixes, ao aumentar
para 5%, estamos aumentando a taxa de colheita. Isso implica que uma maior porcentagem da população está sendo retirada do lago regularmente.
Substituindo
(5%) na equação do ponto de equilíbrio positivo:
Isso mostra que, ao aumentar
, o termo
aumenta, o que diminui o valor de
. Ou seja, a população de peixes se estabiliza em um valor menor.
Resposta
Ao aumentar a taxa de colheita
para 5%, a população de peixes no lago diminui, estabilizando-se em um valor menor que a capacidade de suporte
do lago. Isso significa que uma maior porcentagem da população está sendo retirada, reduzindo significativamente o número de peixes mantidos no ambiente.
Exercícios relacionados
Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
.
Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.6.
Calcule a integral
.
Determine a função derivada das funções a seguir:
(1 ponto)