Calcule a integral
integral0^r raizr^2-x^2 d x

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de áreas usando integrais definidas. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir . Isso significa que, se substituirmos por , podemos transformar a integral em termos de .

Passo 3

Com essa substituição, também precisamos calcular dx = r costheta , dtheta . Derivando em relação a , temos:
Agora, vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, ficamos com:
integral0^r raizr^2-x^2 , dx = integral0^pi2 raizr^2 - r^2sin^2theta cdot r costheta , dtheta
Dentro da raiz, podemos fatorar raizr^2(1 - sin^2theta) = r costheta :
integral0^pi2 r costheta cdot r costheta , dtheta = r^2 integral0^pi2 cos^2theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos integrar cos^2theta = 1 + cos2theta2 . Sabemos que:
r^2 integral0^pi2 1 + cos2theta2 , dtheta = r^22 [ theta + sin2theta2 ]0^pi2
Então, a integral vira:

Resposta

O valor da integral é .

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