Calcule a integral:

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve o cálculo de integrais, um tópico importante em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender técnicas de substituição, que facilitam a integração de funções mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Podemos reescrever como . Assim, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, aplicaremos a técnica de substituição. Vamos definir uma nova variável que simplifique o integrando. Escolhemos:
Em seguida, derivamos em relação a :
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
A integral de em relação a é simplesmente :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos de volta para a variável original :
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a , vamos avaliar os limites:
Simplificando os expoentes:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule a integral:
Encontre o valor da integral .
Utilizando seções planas paralelas, mostre que o volume de uma pirâmide quadrangular reta, com altura e base quadrada de lado , é igual a .
Calcule a integral: