Calcule a integral:
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais, um tópico importante em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender técnicas de substituição, que facilitam a integração de funções mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Podemos reescrever
como
. Assim, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, aplicaremos a técnica de substituição. Vamos definir uma nova variável
que simplifique o integrando. Escolhemos:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Isso nos permite expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
A integral de
em relação a
é simplesmente
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
de volta para a variável original
:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a
, vamos avaliar os limites:
Simplificando os expoentes:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral:
Encontre o valor da integral
.
Utilizando seções planas paralelas, mostre que o volume de uma pirâmide quadrangular reta, com altura
e base quadrada de lado
, é igual a
.
Calcule a integral: