Calcule a integral: integral0^raiz2 te^t^2 / 2 dt

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve o cálculo de integrais, um tópico importante em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender técnicas de substituição, que facilitam a integração de funções mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Podemos reescrever integral0^raiz2 t cdot e^-t^2/2 , dt como . Assim, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, aplicaremos a técnica de substituição. Vamos definir uma nova variável u = -t^22 que simplifique o integrando. Escolhemos:
dudt = -t implies du = -t , dt
Em seguida, derivamos t , dt = -du em relação a :
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo integral t cdot e^-t^2/2 , dt = integral e^u cdot (-du) = -integral e^u , du e - integral e^u , du = -e^u + C na integral original, temos:
A integral de em relação a é simplesmente :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos -e^u + C = -e^-t^2/2 + C de volta para a variável original [ -e^-t^2/2 ]0^raiz2 = ( -e^-(raiz2)^2/2 ) - ( -e^-0^2/2 ) :
-(e^-1) - (-e^0) = -1e + 1 = 1 - 1e
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a , vamos avaliar os limites:
Simplificando os expoentes:

Resposta

A integral é igual a .

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