Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções exponenciais e técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar a substituição u-substitution, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . Perceba que o numerador é a derivada do denominador, ou seja, a derivada de em relação a é . Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Isso implica que:
No entanto, queremos expressar tudo em termos de , então precisamos reescrever em termos de . Como , temos .

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
A integral de em relação a é o logaritmo natural:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original substituindo :
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:

Resposta

A integral é igual a .

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Utilizando seções planas paralelas, mostre que o volume de uma pirâmide quadrangular reta, com altura e base quadrada de lado , é igual a .
Calcule a integral:
Calcule a integral:
Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:
(1.1) e o eixo
(1.2) e
(1.3) e
(1.4) e
(1.5) e
(1.6) e
(1.7) e
(1.8) e
(1.9) e
(1.10) e