Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções exponenciais e técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar a substituição u-substitution, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando:
. Perceba que o numerador é a derivada do denominador, ou seja, a derivada de
em relação a
é
. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Isso implica que:
No entanto, queremos expressar tudo em termos de
, então precisamos reescrever
em termos de
. Como
, temos
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original
substituindo
:
Como
é sempre positivo, podemos simplificar para:
Resposta
A integral é igual a
.