Calcule a integral: integral e^2 t1+e^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções exponenciais e técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar a substituição u-substitution, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . Perceba que o numerador é a derivada do denominador, ou seja, a derivada de em relação a é . Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição dudt = 2e^2 t . Agora, calculamos a derivada de du = 2e^2 t , dt Rightarrow dt = du2e^2 t em relação a :
Isso implica que:
No entanto, queremos expressar tudo em termos de , então precisamos reescrever em termos de . Como , temos .

Passo 4

Substituindo integral e^2 t1+e^2 t , dt = integral u - 1u cdot du2(u - 1) = integral 12 cdot u - 1u(u - 1) , du e integral 12u , du na integral original:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
12 integral 1u , du
A integral de 12 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original 12 ln|1 + e^2 t| + C substituindo 12 ln(1 + e^2 t) + C :
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:

Resposta

A integral é igual a .

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