Utilizando seções planas paralelas, mostre que o volume de uma pirâmide quadrangular reta, com altura e base quadrada de lado , é igual a .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que o volume de uma pirâmide quadrangular reta é igual a , onde é o lado da base e é a altura. Para isso, vamos usar o conceito de seções planas paralelas, que são cortes feitos paralelo à base da pirâmide.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma pirâmide é um sólido com uma base poligonal e faces triangulares que se encontram em um ponto comum chamado vértice. No nosso caso, a base é um quadrado de lado , e a altura é a distância perpendicular do vértice até a base.

Passo 3

Agora, vamos pensar em dividir a pirâmide em fatias horizontais, ou seja, cortes paralelos à base. Cada uma dessas fatias será um quadrado menor, proporcional à altura em que está localizada na pirâmide.

Passo 4

Para encontrar o volume total da pirâmide, vamos integrar a área dessas fatias desde a base até o vértice. Vamos chamar a altura da pirâmide de e a altura de uma fatia de , variando de 0 (base) a (vértice).

Passo 5

A cada altura , o lado do quadrado da fatia é proporcional a . Isso porque, quando , o lado é , e quando , o lado é 0.

Passo 6

A área da fatia nesse nível é .

Passo 7

Agora, para encontrar o volume, integramos a área das fatias de até :

Passo 8

Vamos simplificar a integral:
Fazendo a substituição , temos , e os limites de integração mudam para quando e quando .

Passo 9

A integral fica:

Passo 10

Calculando a integral:

Passo 11

Substituindo de volta:

Resposta

Portanto, demonstramos que o volume da pirâmide quadrangular reta é igual a .

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