Utilizando seções planas paralelas, mostre que o volume de uma pirâmide quadrangular reta, com altura
e base quadrada de lado
, é igual a
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que o volume de uma pirâmide quadrangular reta é igual a
, onde
é o lado da base e
é a altura. Para isso, vamos usar o conceito de seções planas paralelas, que são cortes feitos paralelo à base da pirâmide.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma pirâmide é um sólido com uma base poligonal e faces triangulares que se encontram em um ponto comum chamado vértice. No nosso caso, a base é um quadrado de lado
, e a altura
é a distância perpendicular do vértice até a base.
Passo 3
Agora, vamos pensar em dividir a pirâmide em fatias horizontais, ou seja, cortes paralelos à base. Cada uma dessas fatias será um quadrado menor, proporcional à altura em que está localizada na pirâmide.
Passo 4
Para encontrar o volume total da pirâmide, vamos integrar a área dessas fatias desde a base até o vértice. Vamos chamar a altura da pirâmide de
e a altura de uma fatia de
, variando de 0 (base) a
(vértice).
Passo 5
A cada altura
, o lado do quadrado da fatia é proporcional a
. Isso porque, quando
, o lado é
, e quando
, o lado é 0.
Passo 6
A área da fatia nesse nível
é
.
Passo 7
Agora, para encontrar o volume, integramos a área das fatias de
até
:
Passo 8
Vamos simplificar a integral:
Fazendo a substituição
, temos
, e os limites de integração mudam para
quando
e
quando
.
Passo 9
A integral fica:
Passo 10
Calculando a integral:
Passo 11
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, demonstramos que o volume da pirâmide quadrangular reta é igual a
.
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