Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
a. sem eliminar o parametro,
b. eliminando o parametro primeiro.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da tangente à curva em um ponto específico usando dois métodos diferentes: a) sem eliminar o parâmetro e b) eliminando o parâmetro primeiro. Temos duas situações:
i. e , no ponto
ii. e , no ponto
Para resolver, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e equações de retas tangentes.

Situação i

a. Sem eliminar o parâmetro

Passo 2

Primeiro, encontramos a derivada paramétrica usando a regra da cadeia:
Calculamos e :
Então,

Passo 3

Agora, identificamos o valor de correspondente ao ponto . Sabemos que:

Passo 4

Calculamos a inclinação da tangente no ponto:

Passo 5

Usamos a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo e :

b. Eliminando o parâmetro primeiro

Passo 6

Eliminamos o parâmetro para obter em função de . Da equação , resolvemos para :

Passo 7

Substituímos na equação de :

Passo 8

Calculamos a derivada :

Passo 9

Encontramos a inclinação no ponto :

Passo 10

Usamos a fórmula da reta tangente novamente:

Situação ii

a. Sem eliminar o parâmetro

Passo 11

Novamente, encontramos a derivada paramétrica :
Calculamos e :
Então,

Passo 12

Identificamos o valor de correspondente ao ponto . Sabemos que:

Passo 13

Calculamos a inclinação da tangente no ponto:

Passo 14

Usamos a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo e :

b. Eliminando o parâmetro primeiro

Passo 15

Eliminamos o parâmetro para obter em função de . Da equação , sabemos que:
E sabemos que:

Passo 16

Calculamos a derivada :

Passo 17

Encontramos a inclinação no ponto :

Passo 18

Usamos a fórmula da reta tangente novamente:

Resposta

i. a) A equação da tangente é .
i. b) A equação da tangente é .
ii. a) A equação da tangente é .
ii. b) A equação da tangente é .

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