Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
a. sem eliminar o parametro,
b. eliminando o parametro primeiro.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da tangente à curva em um ponto específico usando dois métodos diferentes: a) sem eliminar o parâmetro e b) eliminando o parâmetro primeiro. Temos duas situações:
i. e , no ponto
ii. e , no ponto
Para resolver, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e equações de retas tangentes.
Situação i
a. Sem eliminar o parâmetro
Passo 2
Primeiro, encontramos a derivada paramétrica usando a regra da cadeia:
Calculamos e :
Então,
Passo 3
Agora, identificamos o valor de correspondente ao ponto . Sabemos que:
Passo 4
Calculamos a inclinação da tangente no ponto:
Passo 5
Usamos a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo e :
b. Eliminando o parâmetro primeiro
Passo 6
Eliminamos o parâmetro para obter em função de . Da equação , resolvemos para :
Passo 7
Substituímos na equação de :
Passo 8
Calculamos a derivada :
Passo 9
Encontramos a inclinação no ponto :
Passo 10
Usamos a fórmula da reta tangente novamente:
Situação ii
a. Sem eliminar o parâmetro
Passo 11
Novamente, encontramos a derivada paramétrica :
Calculamos e :
Então,
Passo 12
Identificamos o valor de correspondente ao ponto . Sabemos que:
Passo 13
Calculamos a inclinação da tangente no ponto:
Passo 14
Usamos a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo e :
b. Eliminando o parâmetro primeiro
Passo 15
Eliminamos o parâmetro para obter em função de . Da equação , sabemos que:
E sabemos que:
Passo 16
Calculamos a derivada :
Passo 17
Encontramos a inclinação no ponto :
Passo 18
Usamos a fórmula da reta tangente novamente:
Resposta
i. a) A equação da tangente é .
i. b) A equação da tangente é .
ii. a) A equação da tangente é .
ii. b) A equação da tangente é .