Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
a. sem eliminar o parametro,
b. eliminando o parametro primeiro.
ll i x=1+ln t e y=t^2+2, P(1,3) & ii x=tg theta e y=sec theta, P(1, raiz2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da tangente à curva em um ponto específico usando dois métodos diferentes: a) sem eliminar o parâmetro e b) eliminando o parâmetro primeiro. Temos duas situações:
i. e , no ponto
ii. e , no ponto
Para resolver, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e equações de retas tangentes.

Situação i

a. Sem eliminar o parâmetro

Passo 2

Primeiro, encontramos a derivada paramétrica dydx = dy/dtdx/dt usando a regra da cadeia:
dxdt = ddt(1 + ln t) = 1t
Calculamos dydt = ddt(t^2 + 2) = 2t e dydx = 2t1/t = 2t^2 :
Então,

Passo 3

Agora, identificamos o valor de x = 1 + ln t = 1 implies ln t = 0 implies t = e^0 = 1 correspondente ao ponto . Sabemos que:

Passo 4

Calculamos a inclinação da tangente no ponto:
m = dydxg|t=1 = 2(1)^2 = 2

Passo 5

Usamos a fórmula da equação da reta tangente:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo y - 3 = 2(x - 1) implies y = 2x + 1 e :

b. Eliminando o parâmetro primeiro

Passo 6

Eliminamos o parâmetro x - 1 = ln t implies t = e^x - 1 para obter em função de . Da equação , resolvemos para :

Passo 7

Substituímos y = (e^x - 1)^2 + 2 = e^2(x - 1) + 2 na equação de :

Passo 8

Calculamos a derivada dydx = 2e^2(x - 1) :

Passo 9

Encontramos a inclinação no ponto dydxg|x=1 = 2e^2(1 - 1) = 2e^0 = 2 :

Passo 10

Usamos a fórmula da reta tangente novamente:
y - 3 = 2(x - 1) implies y = 2x + 1

Situação ii

a. Sem eliminar o parâmetro

Passo 11

Novamente, encontramos a derivada paramétrica dydx = dy/dthetadx/dtheta :
dxdtheta = ddtheta(tan theta) = sec^2 theta
Calculamos dydtheta = ddtheta(sec theta) = sec theta tan theta e dydx = sec theta tan thetasec^2 theta = tan thetasec theta = sin theta :
Então,

Passo 12

Identificamos o valor de x = tan theta = 1 implies theta = pi4 correspondente ao ponto . Sabemos que:

Passo 13

Calculamos a inclinação da tangente no ponto:
m = dydxg|theta=pi4 = sin(pi4) = raiz22

Passo 14

Usamos a fórmula da equação da reta tangente:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo y - raiz2 = raiz22(x - 1) implies y = raiz22x + raiz22 e :

b. Eliminando o parâmetro primeiro

Passo 15

Eliminamos o parâmetro theta = arctan x para obter y = sec theta = raiz1 + x^2 em função de . Da equação , sabemos que:
E sabemos que:

Passo 16

Calculamos a derivada dydx = ddx(raiz1 + x^2) = xraiz1 + x^2 :

Passo 17

Encontramos a inclinação no ponto m = 1raiz1 + 1^2 = 1raiz2 :

Passo 18

Usamos a fórmula da reta tangente novamente:
y - raiz2 = 1raiz2(x - 1) implies y = 1raiz2x + raiz22

Resposta

i. a) A equação da tangente é .
i. b) A equação da tangente é .
ii. a) A equação da tangente é .
ii. b) A equação da tangente é .

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