Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
a. sem eliminar o parametro,
b. eliminando o parametro primeiro.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da tangente à curva em um ponto específico usando dois métodos diferentes: a) sem eliminar o parâmetro e b) eliminando o parâmetro primeiro. Temos duas situações:
i. e , no ponto
ii. e , no ponto
Para resolver, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e equações de retas tangentes.
Situação i
a. Sem eliminar o parâmetro
Passo 2
Primeiro, encontramos a derivada paramétrica usando a regra da cadeia:
Calculamos e :
Então,
Passo 3
Agora, identificamos o valor de correspondente ao ponto . Sabemos que:
Passo 4
Calculamos a inclinação da tangente no ponto:
Passo 5
Usamos a fórmula da equação da reta tangente:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo y - 3 = 2(x - 1) implies y = 2x + 1 e :
b. Eliminando o parâmetro primeiro
Passo 6
Eliminamos o parâmetro x - 1 = ln t implies t = e^x - 1 para obter em função de . Da equação , resolvemos para :
Passo 7
Substituímos y = (e^x - 1)^2 + 2 = e^2(x - 1) + 2 na equação de :
Passo 8
Calculamos a derivada dydx = 2e^2(x - 1) :
Passo 9
Encontramos a inclinação no ponto dydxg|x=1 = 2e^2(1 - 1) = 2e^0 = 2 :
Passo 10
Usamos a fórmula da reta tangente novamente:
y - 3 = 2(x - 1) implies y = 2x + 1
Situação ii
a. Sem eliminar o parâmetro
Passo 11
Novamente, encontramos a derivada paramétrica dydx = dy/dthetadx/dtheta :
dxdtheta = ddtheta(tan theta) = sec^2 theta
Calculamos dydtheta = ddtheta(sec theta) = sec theta tan theta e dydx = sec theta tan thetasec^2 theta = tan thetasec theta = sin theta :
Então,
Passo 12
Identificamos o valor de x = tan theta = 1 implies theta = pi4 correspondente ao ponto . Sabemos que:
Passo 13
Calculamos a inclinação da tangente no ponto:
m = dydxg|theta=pi4 = sin(pi4) = raiz22
Passo 14
Usamos a fórmula da equação da reta tangente:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo y - raiz2 = raiz22(x - 1) implies y = raiz22x + raiz22 e :
b. Eliminando o parâmetro primeiro
Passo 15
Eliminamos o parâmetro theta = arctan x para obter y = sec theta = raiz1 + x^2 em função de . Da equação , sabemos que: