Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão e aplicar uma substituição adequada que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Observa que , então podemos reescrever a fração da seguinte forma:
Agora, a integral fica:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja . Agora, derivamos em relação a :
Isolando :
Mas como , temos que . Então:

Passo 4

Substituindo na integral original:
Agora, precisamos resolver essa integral fracionária. Para isso, usamos frações parciais.

Passo 5

Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então, a decomposição fica:

Passo 6

Agora, substituímos na integral:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Substituímos de volta na expressão:
Simplificando:

Passo 8

Podemos deixar a resposta de forma mais compacta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
a. sem eliminar o parametro,
b. eliminando o parametro primeiro.
Calcule a integral:
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área: