Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão e aplicar uma substituição adequada que facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Observa que
, então podemos reescrever a fração da seguinte forma:
Agora, a integral fica:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
. Agora, derivamos
em relação a
:
Isolando
:
Mas como
, temos que
. Então:
Passo 4
Substituindo na integral original:
Agora, precisamos resolver essa integral fracionária. Para isso, usamos frações parciais.
Passo 5
Vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Se
:
- Se
:
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, substituímos na integral:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Substituímos
de volta na expressão:
Simplificando:
Passo 8
Podemos deixar a resposta de forma mais compacta:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
a. sem eliminar o parametro,
b. eliminando o parametro primeiro.
a. sem eliminar o parametro,
b. eliminando o parametro primeiro.
Calcule a integral:
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área: