Calcule a integral: integral e^-t1+e^-t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão e aplicar uma substituição adequada que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração e^-t1+e^-t = 1e^t1+1e^t = 1e^t + 1 . Observa que integral 1e^t + 1 , dt , então podemos reescrever a fração da seguinte forma:
Agora, a integral fica:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja dudt = e^t . Agora, derivamos dt = due^t em relação a dt = duu - 1 :
Isolando :
Mas como , temos que . Então:

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral 1u cdot duu - 1 = integral 1u(u - 1) , du
Agora, precisamos resolver essa integral fracionária. Para isso, usamos frações parciais.

Passo 5

Vamos decompor 1u(u - 1) = Au + Bu - 1 em frações parciais:
1 = A(u - 1) + B u
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(0) + B(1) Rightarrow B = 1 :
1 = A(-1) + B(0) Rightarrow A = -1
Para encontrar 1u(u - 1) = -1u + 1u - 1 e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então, a decomposição fica:

Passo 6

Agora, substituímos na integral:
integral ( -1u + 1u - 1 ) du = -integral 1u , du + integral 1u - 1 , du
Integrando termo a termo:
- ln|u| + ln|u - 1| + C

Passo 7

Substituímos - ln(e^t + 1) + ln(e^t + 1 - 1) + C = - ln(e^t + 1) + ln(e^t) + C de volta na expressão:
ln(e^t) - ln(e^t + 1) + C = t - ln(e^t + 1) + C
Simplificando:

Passo 8

Podemos deixar a resposta de forma mais compacta:
integral e^-t1+e^-t , dt = t - ln(1 + e^t) + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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