Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla:
Esse tipo de integral está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente a Integrais Duplas. Para resolver, vamos precisar de Mudança para Coordenadas Polares, o que facilita bastante quando temos expressões envolvendo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As condições vai de a e vai de a descrevem a parte superior de um círculo de raio centrado na origem. Isso porque é a equação de um círculo com raio .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
e
Além disso, o Jacobian da transformação de coordenadas cartesianas para polares é , então o elemento de área vira .

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como a região é a parte superior do círculo de raio :
  • varia de a (o raio do círculo).
  • varia de a (para cobrir a parte superior do círculo).

Passo 5

Substituindo na integral original, temos:
Aqui, usamos a substituição e incluímos o do Jacobian.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazemos uma substituição simples: deixe , então , ou seja, .
Substituindo:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Encontrar o volume definido pela rotação em torno do eixo das funções dadas:
Represente, geometricamente, os vetores abaixo.
(b) .