Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla:
Esse tipo de integral está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente a Integrais Duplas. Para resolver, vamos precisar de Mudança para Coordenadas Polares, o que facilita bastante quando temos expressões envolvendo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. As condições
vai de
a
e
vai de
a
descrevem a parte superior de um círculo de raio
centrado na origem. Isso porque
é a equação de um círculo com raio
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
e
Além disso, o Jacobian da transformação de coordenadas cartesianas para polares é
, então o elemento de área
vira
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como a região é a parte superior do círculo de raio
:
-
varia de a (o raio do círculo). -
varia de a (para cobrir a parte superior do círculo).
Passo 5
Substituindo na integral original, temos:
Aqui, usamos a substituição
e incluímos o
do Jacobian.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazemos uma substituição simples: deixe
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Encontrar o volume definido pela rotação em torno do eixo
das funções dadas:
Represente, geometricamente, os vetores abaixo.
(b) .
(b)