Calcule integral-2^2 integral0^raiz4-x^2 e^x^2+y^2 d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla:
integral-2^2 integral0^raiz4-x^2 e^x^2+y^2 , dy , dx
Esse tipo de integral está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente a Integrais Duplas. Para resolver, vamos precisar de Mudança para Coordenadas Polares, o que facilita bastante quando temos expressões envolvendo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As condições vai de a e vai de a descrevem a parte superior de um círculo de raio centrado na origem. Isso porque é a equação de um círculo com raio .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta y = r sin theta
e
x^2 + y^2 = r^2
Além disso, o Jacobian da transformação de coordenadas cartesianas para polares é , então o elemento de área vira .

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como a região é a parte superior do círculo de raio :
  • varia de a (o raio do círculo).
  • varia de a (para cobrir a parte superior do círculo).

Passo 5

Substituindo na integral original, temos:
integral-2^2 integral0^raiz4-x^2 e^x^2+y^2 , dy , dx = integral0^pi integral0^2 e^r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, usamos a substituição e incluímos o do Jacobian.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^2 e^r^2 cdot r , dr
Fazemos uma substituição simples: deixe 12 integral0^4 e^u , du = 12 [ e^u ]0^4 = 12 (e^4 - e^0) = 12 (e^4 - 1) , então , ou seja, .
Substituindo:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi 12 (e^4 - 1) , dtheta = 12 (e^4 - 1) integral0^pi , dtheta = 12 (e^4 - 1) cdot pi

Resposta

A integral vale .

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