lim (x, y, z) (2,3,1) y^2-4 y+3x^2 z(y-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem a seguinte expressão para calcular:
lim (x, y, z) (2,3,1) y^2-4 y+3x^2 z(y-3)
Aqui, estamos trabalhando com funções de várias variáveis e queremos saber o comportamento dessa função quando se aproxima de 2, de 3 e de 1. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e verificar se conseguimos eliminar as partes que causam indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador: y^2 - 4y + 3 = (y - 1)(y - 3) . Vamos tentar fatorar essa expressão para ver se conseguimos simplificar a fração.
(y - 1)(y - 3)x^2 z (y - 3)
Então, agora nossa expressão fica:

Passo 3

Perceba que temos o termo y - 1x^2 z tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar esses termos, desde que . Como estamos interessados no limite quando se aproxima de 3, mas não exatamente igual a 3, podemos cancelar esse termo:
Agora a expressão ficou mais simples e já não apresenta mais a indeterminação .

Passo 4

Agora que simplificamos, podemos substituir diretamente os valores para y - 1x^2 z quando x 2, y 3, z 1 , 3 - 12^2 times 1 = 24 = 12 e :
Substituindo:

Resposta

O limite é igual a .

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