Encontrar o volume definido pela rotação em torno do eixo
das funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar o volume gerado pela rotação da função
ao redor do eixo
, no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de integração para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa rotacionar a função
ao redor do eixo
. Imagine que você tem a curva dessa função no gráfico e gira essa curva 360 graus em torno do eixo
. O volume gerado por essa rotação é o que queremos descobrir.
Passo 3
Para calcular esse volume, usamos a fórmula dos discos, que é dada por:
Aqui,
é a função que está sendo rotacionada, e
e
são os limites de integração, que no nosso caso são de
a
.
Passo 4
Vamos identificar os elementos na nossa situação:
Substituindo esses valores na fórmula dos discos, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que vamos desconsiderar porque estamos calculando um valor definido.
Passo 7
Aplicando os limites de integração de
a
:
Resposta
O volume gerado pela rotação da função
ao redor do eixo
no intervalo de
a
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Represente, geometricamente, os vetores abaixo.
(b) .
(b)
Considere a função
.
Verifique se é contínua em
;
Verifique se
Calcule
.