Encontrar o volume definido pela rotação em torno do eixo x das funções dadas:
y = raiz(x) ; 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar o volume gerado pela rotação da função ao redor do eixo x, no intervalo de 0 a 1. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de integração para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa rotacionar a função ao redor do eixo x. Imagine que você tem a curva dessa função no gráfico e gira essa curva 360 graus em torno do eixo x. O volume gerado por essa rotação é o que queremos descobrir.

Passo 3

Para calcular esse volume, usamos a fórmula dos discos, que é dada por:
Aqui, f(x) é a função que está sendo rotacionada, e a e b são os limites de integração, que no nosso caso são de 0 a 1.

Passo 4

Vamos identificar os elementos na nossa situação:
  • f(x) = raiz(x)
Substituindo esses valores na fórmula dos discos, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de x em relação a x:
Onde C é a constante de integração, que vamos desconsiderar porque estamos calculando um valor definido.

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:

Resposta

O volume gerado pela rotação da função ao redor do eixo x no intervalo de 0 a 1 é pi / 2 unidades cúbicas.

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