Encontrar o volume definido pela rotação em torno do eixo das funções dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar o volume gerado pela rotação da função ao redor do eixo , no intervalo de a . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de integração para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa rotacionar a função ao redor do eixo . Imagine que você tem a curva dessa função no gráfico e gira essa curva 360 graus em torno do eixo . O volume gerado por essa rotação é o que queremos descobrir.

Passo 3

Para calcular esse volume, usamos a fórmula dos discos, que é dada por:
Aqui, é a função que está sendo rotacionada, e e são os limites de integração, que no nosso caso são de a .

Passo 4

Vamos identificar os elementos na nossa situação:
Substituindo esses valores na fórmula dos discos, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de em relação a :
Onde é a constante de integração, que vamos desconsiderar porque estamos calculando um valor definido.

Passo 7

Aplicando os limites de integração de a :

Resposta

O volume gerado pela rotação da função ao redor do eixo no intervalo de a é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Represente, geometricamente, os vetores abaixo.
(b) .
Considere a função .
Verifique se é contínua em ;
Calcule .