integral-2^7 1(x+1)^2 / 3 d x

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer. A gente tem uma integral definida de -2 até 7 da função . Isso envolve conceitos de cálculo integral e potências de funções. Para resolver, vamos usar a regra de potência para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a integração. A função integral-2^7 (x+1)^-2/3 , dx é a mesma coisa que . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra de potência para integrais. Essa regra diz que:
integral (x+a)^n , dx = (x+a)^n+1n+1 + C
onde é a constante de integração e .
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a regra de potência, integramos:
integral (x+1)^-2/3 , dx = (x+1)^-2/3 +1-2/3 +1 + C
Simplificando os expoentes:
-23 + 1 = 13
Então:
(x+1)^1/31/3 = 3 (x+1)^1/3

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de -2 até 7:
[ 3 (x+1)^1/3 ]-2^7 = 3 (7+1)^1/3 - 3 (-2+1)^1/3
Simplificando:
3 times 8^1/3 - 3 times (-1)^1/3
Sabemos que 3 times 2 - 3 times (-1) = 6 + 3 = 9 e , então:

Resposta

O valor da integral é 9.

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