Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla:
Isso significa que vamos calcular o volume de uma região no espaço onde a variável varia de -2 a 0, varia de 0 a , e varia de a . O conteúdo envolvido aqui inclui integrais triplas e mudança de coordenadas, provavelmente para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região de integração. As limitações em sugerem que estamos tratando de superfícies que dependem de e :
varia de a
varia de 0 a
varia de -2 a 0
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , , e . A mudança para coordenadas cilíndricas é útil aqui porque as expressões envolvem , que se simplifica para em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, a integral se torna:
Aqui, , então . O termo extra vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas cilíndricas:
: Como varia de -2 a 0 e de 0 a , isso corresponde a um ângulo que vai de a (quadrante esquerdo inferior).
: A fronteira superior em e é , que em coordenadas cilíndricas é .
: Varia de a .
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral simplifica para:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Primeiro, calculamos a parte com :
Sabemos que , então:
Passo 7
Agora, vamos resolver as integrais em :
Primeira integral:
Fazemos a substituição , então , ou . Quando , ; quando , .
A integral se transforma em:
Expandindo:
Calculando:
Segunda integral:
Passo 8
Agora, substituímos os resultados de volta na expressão: