Calcule

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla:
Isso significa que vamos calcular o volume de uma região no espaço onde a variável varia de -2 a 0, varia de 0 a , e varia de a . O conteúdo envolvido aqui inclui integrais triplas e mudança de coordenadas, provavelmente para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região de integração. As limitações em sugerem que estamos tratando de superfícies que dependem de e :
  • varia de a
  • varia de 0 a
  • varia de -2 a 0
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , , e . A mudança para coordenadas cilíndricas é útil aqui porque as expressões envolvem , que se simplifica para em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, a integral se torna:
Aqui, , então . O termo extra vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas cilíndricas:
  1. : Como varia de -2 a 0 e de 0 a , isso corresponde a um ângulo que vai de a (quadrante esquerdo inferior).
  2. : A fronteira superior em e é , que em coordenadas cilíndricas é .
  3. : Varia de a .
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral simplifica para:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Primeiro, calculamos a parte com :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos resolver as integrais em :
  1. Primeira integral:
Fazemos a substituição , então , ou . Quando , ; quando , .
A integral se transforma em:
Expandindo:
Calculando:
  1. Segunda integral:

Passo 8

Agora, substituímos os resultados de volta na expressão:

Resposta

O valor da integral tripla é aproximadamente .

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