Calcule
integral-2^0 integral0^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2 y^2 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla:
integral-2^0 integral0^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2 y^2 , dz , dx , dy
Isso significa que vamos calcular o volume de uma região no espaço onde a variável varia de -2 a 0, varia de 0 a , e varia de a . O conteúdo envolvido aqui inclui integrais triplas e mudança de coordenadas, provavelmente para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região de integração. As limitações em sugerem que estamos tratando de superfícies que dependem de e :
  • varia de a
  • varia de 0 a
  • varia de -2 a 0
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , , e . A mudança para coordenadas cilíndricas é útil aqui porque as expressões envolvem , que se simplifica para em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, a integral se torna:
integraltheta1^theta2 integralrmin^rmax integralzmin^zmax y^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, , então . O termo extra vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas cilíndricas:
  1. integralpi2^pi integral0^2 integralr^raiz8 - r^2 r^3 sin^2theta , dz , dr , dtheta : Como varia de -2 a 0 e de 0 a , isso corresponde a um ângulo que vai de a (quadrante esquerdo inferior).
  2. : A fronteira superior em e é , que em coordenadas cilíndricas é .
  3. : Varia de a .
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integralr^raiz8 - r^2 dz = raiz8 - r^2 - r :
integralpi2^pi integral0^2 r^3 sin^2theta ( raiz8 - r^2 - r ) , dr , dtheta
Então, a integral simplifica para:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integralpi2^pi sin^2theta , dtheta cdot ( integral0^2 r^3 raiz8 - r^2 , dr - integral0^2 r^4 , dr )
Primeiro, calculamos a parte com integralpi2^pi sin^2theta , dtheta :
12 [ theta - sin(2theta)2 ] g|pi2^pi = 12 [ pi - 02 - ( pi2 - 02 ) ] = pi4
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, vamos resolver as integrais em integral0^2 r^3 raiz8 - r^2 , dr :
  1. Primeira integral:
-12 integral8^4 (8 - u) raizu cdot (-du) = 12 integral4^8 (8 - u) raizu , du
Fazemos a substituição 12 ( 8 integral4^8 raizu , du - integral4^8 u raizu , du ) = 12 ( 8 cdot 23 u^3/2 |4^8 - 25 u^5/2 |4^8 ) , então 12 ( 163 (8^3/2 - 4^3/2) - 25 (8^5/2 - 4^5/2) ) = 12 ( 163 (22.627 - 8) - 25 (181.019 - 32) ) , ou = 12 ( 163 cdot 14.627 - 25 cdot 149.019 ) approx 12 (78.168 - 59.607) = 12 cdot 18.561 = 9.2805 . Quando integral0^2 r^4 , dr = r^55 |0^2 = 325 - 0 = 325 = 6.4 , ; quando , .
A integral se transforma em:
Expandindo:
Calculando:
  1. Segunda integral:

Passo 8

Agora, substituímos os resultados de volta na expressão:
pi4 ( 9.2805 - 6.4 ) = pi4 cdot 2.8805 approx 0.72 pi

Resposta

O valor da integral tripla é aproximadamente .

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