Determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de teoria de séries para resolver isso. Precisaremos analisar tanto a série original quanto a série dos valores absolutos para ver como ela se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Observamos que o termo geral dessa série é . Vamos analisar o comportamento desse termo conforme cresce.

Passo 3

Note que cresce de forma exponencialmente rápida à medida que aumenta. Por outro lado, cresce de forma polinomial. Comparando os dois, vemos que o numerador domina o denominador, fazendo com que cresça sem limites.

Passo 4

Como o termo geral tende ao infinito quando tende ao infinito, a série dos valores absolutos não converge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente. Para uma série alternada como essa, usamos o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz), que diz que a série converge condicionalmente se:
  1. Os termos forem decrescentes.
  2. .
Vamos verificar essas condições para :
  • Já vimos que aumenta conforme aumenta.
  • Além disso, , não zero.

Passo 6

Como os critérios do Teste da Série Alternada não são atendidos (os termos não tendem a zero e nem são decrescentes), concluímos que a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série é divergente.

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