Calcule
onde
é o sólido limitado pelas superfícies
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o integrál triplo de
sobre o sólido
que é limitado pelas superfícies
,
e
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam quando temos simetria em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
e o elemento de volume fica:
Nessa mudança, nosso integrál fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. As superfícies que definem
são:
-
que vira em coordenadas cilíndricas (um cone). -
que vira (meia-esfera de raio 1). -
que vira (meia-esfera de raio 2).
O sólido
é onde o cone está entre as duas meia-esferas. Precisamos descobrir onde essas superfícies se cruzam para definir os limites de
.
Passo 4
Vamos encontrar onde o cone
intercepta as duas meia-esferas:
- Com a meia-esfera de raio 1:
- Com a meia-esfera de raio 2:
Então,
se divide em duas regiões:
- De
a , entre o cone e a meia-esfera de raio 1. - De
a , entre o cone e a meia-esfera de raio 2.
Passo 5
Vamos montar o integrál dividido nessas duas regiões:
O
vem da integração em
de 0 a
.
Passo 6
Vamos resolver a integração em
:
Aplicando os limites:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Substituindo de volta no integrál e simplificando:
Simplificando mais:
Passo 8
Resolvendo as integrações:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Passo 9
Juntando tudo:
Simplificando: