Calcule
integral triplaW d x d y d zz^2
onde W é o sólido limitado pelas superfícies z=raizx^2+y^2, z=raiz1-x^2-y^2 e z=raiz4-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o integrál triplo de sobre o sólido que é limitado pelas superfícies , e . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam quando temos simetria em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
e o elemento de volume fica:
dV = r , dz , dr , dtheta
Nessa mudança, nosso integrál fica:
integral triplaW 1z^2 , dV = integral0^2pi integral0^R integralzmin^zmax 1z^2 , r , dz , dr , dtheta

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. As superfícies que definem são:
  1. que vira em coordenadas cilíndricas (um cone).
  2. que vira (meia-esfera de raio 1).
  3. que vira (meia-esfera de raio 2).
O sólido é onde o cone está entre as duas meia-esferas. Precisamos descobrir onde essas superfícies se cruzam para definir os limites de .

Passo 4

Vamos encontrar onde o cone r = raiz1 - r^2 implies 2r^2 = 1 implies r = 1raiz2 intercepta as duas meia-esferas:
  1. Com a meia-esfera de raio 1:
r = raiz4 - r^2 implies 2r^2 = 4 implies r = raiz2
  1. Com a meia-esfera de raio 2:
Então, se divide em duas regiões:
  • De a , entre o cone e a meia-esfera de raio 1.
  • De a , entre o cone e a meia-esfera de raio 2.

Passo 5

Vamos montar o integrál dividido nessas duas regiões:
integral triplaW 1z^2 , dV = 2pi [ integral0^1raiz2 integralr^raiz1 - r^2 rz^2 , dz , dr + integral1raiz2^raiz2 integralr^raiz4 - r^2 rz^2 , dz , dr ]
O vem da integração em de 0 a .

Passo 6

Vamos resolver a integração em integral 1z^2 , dz = -1z :
-1raiz1 - r^2 + 1r
Aplicando os limites:
  1. Para -1raiz4 - r^2 + 1r :
  1. Para :

Passo 7

Substituindo de volta no integrál e simplificando:
integral triplaW 1z^2 , dV = 2pi [ integral0^1raiz2 ( 1r - 1raiz1 - r^2 ) r , dr + integral1raiz2^raiz2 ( 1r - 1raiz4 - r^2 ) r , dr ]
Simplificando mais:
= 2pi [ integral0^1raiz2 ( 1 - rraiz1 - r^2 ) dr + integral1raiz2^raiz2 ( 1 - rraiz4 - r^2 ) dr ]

Passo 8

Resolvendo as integrações:
  1. Primeira integral:
integral ( 1 - rraiz1 - r^2 ) dr = r - raiz1 - r^2 |0^1raiz2 = 1raiz2 - (1 - 1raiz2) = raiz2 - 1
  1. Segunda integral:
integral ( 1 - rraiz4 - r^2 ) dr = r - raiz4 - r^2 |1raiz2^raiz2 = (raiz2 - raiz2) - (1raiz2 - raiz72) = raiz72 - 1raiz2 - 1

Passo 9

Juntando tudo:
integral triplaW 1z^2 , dV = 2pi ( raiz2 - 1 + raiz142 - 1 ) = 2pi ( raiz2 + raiz142 - 2 )
Simplificando:
= pi ( raiz2 + raiz14 - 2 )

Resposta

pi ( raiz2 + raiz14 - 2 )

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