Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o integrál triplo de sobre o sólido que é limitado pelas superfícies , e . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam quando temos simetria em torno do eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
e o elemento de volume fica:
Nessa mudança, nosso integrál fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. As superfícies que definem são:
que vira em coordenadas cilíndricas (um cone).
que vira (meia-esfera de raio 1).
que vira (meia-esfera de raio 2).
O sólido é onde o cone está entre as duas meia-esferas. Precisamos descobrir onde essas superfícies se cruzam para definir os limites de .
Passo 4
Vamos encontrar onde o cone intercepta as duas meia-esferas:
Com a meia-esfera de raio 1:
Com a meia-esfera de raio 2:
Então, se divide em duas regiões:
De a , entre o cone e a meia-esfera de raio 1.
De a , entre o cone e a meia-esfera de raio 2.
Passo 5
Vamos montar o integrál dividido nessas duas regiões:
O vem da integração em de 0 a .
Passo 6
Vamos resolver a integração em :
Aplicando os limites:
Para :
Para :
Passo 7
Substituindo de volta no integrál e simplificando: