Calcule
onde é o sólido limitado pelas superfícies .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o integrál triplo de sobre o sólido que é limitado pelas superfícies , e . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam quando temos simetria em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
e o elemento de volume fica:
Nessa mudança, nosso integrál fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. As superfícies que definem são:
  1. que vira em coordenadas cilíndricas (um cone).
  2. que vira (meia-esfera de raio 1).
  3. que vira (meia-esfera de raio 2).
O sólido é onde o cone está entre as duas meia-esferas. Precisamos descobrir onde essas superfícies se cruzam para definir os limites de .

Passo 4

Vamos encontrar onde o cone intercepta as duas meia-esferas:
  1. Com a meia-esfera de raio 1:
  1. Com a meia-esfera de raio 2:
Então, se divide em duas regiões:
  • De a , entre o cone e a meia-esfera de raio 1.
  • De a , entre o cone e a meia-esfera de raio 2.

Passo 5

Vamos montar o integrál dividido nessas duas regiões:
O vem da integração em de 0 a .

Passo 6

Vamos resolver a integração em :
Aplicando os limites:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Substituindo de volta no integrál e simplificando:
Simplificando mais:

Passo 8

Resolvendo as integrações:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:

Passo 9

Juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

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;
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