Calcule a integral
utilizando expansão em série de potências, centrada em zero. Determine o termo geral desta expansão ou faça o seu desenvolvimento com pelo menos 5 termos não nulos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
usando expansão em série de potências centrada em zero. O conteúdo que vamos usar aqui é a expansão binomial, que nos ajuda a expandir expressões do tipo
em uma série infinita. Precisaremos também integrar termo a termo essa série para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o integrando de uma forma que facilite a aplicação da expansão binomial. Temos:
Aqui, queremos expandir
em uma série de potências centrada em zero.
Passo 3
Para expandir
onde
e
, usamos a fórmula binomial:
Onde
é o coeficiente binomial dado por:
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
Então, o termo geral da série é:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo a série de potências de
de 0 até
:
Integrando
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular os primeiros cinco termos dessa série para obter uma aproximação:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Então, a expansão da integral
em série de potências, com os primeiros cinco termos, é:
Exercícios relacionados
Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(f)
(f)
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(h)
(h)
Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
©
©
Mostre que as funções
e
são soluções da equação diferencial
.