Calcule a integral integral0^t 1raiz[3]1+x^4 d x utilizando expansão em série de potências, centrada em zero. Determine o termo geral desta expansão ou faça o seu desenvolvimento com pelo menos 5 termos não nulos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando expansão em série de potências centrada em zero. O conteúdo que vamos usar aqui é a expansão binomial, que nos ajuda a expandir expressões do tipo em uma série infinita. Precisaremos também integrar termo a termo essa série para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o integrando de uma forma que facilite a aplicação da expansão binomial. Temos:
1raiz[3]1+x^4 = (1 + x^4)^-1/3
Aqui, queremos expandir em uma série de potências centrada em zero.

Passo 3

Para expandir (1 + z)^k = sumn=0^infty binomkn z^n onde binomkn = k (k - 1) (k - 2) cdots (k - n + 1)n! e , usamos a fórmula binomial:
Onde é o coeficiente binomial dado por:

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
(1 + x^4)^-1/3 = sumn=0^infty binom-1/3n (x^4)^n = sumn=0^infty binom-1/3n x^4n
Então, o termo geral da série é:
binom-1/3n x^4n

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo a série de potências de integral0^t 1raiz[3]1+x^4 , dx = integral0^t sumn=0^infty binom-1/3n x^4n , dx = sumn=0^infty binom-1/3n integral0^t x^4n , dx de 0 até integral0^t x^4n , dx = t^4n+14n + 1 :
sumn=0^infty binom-1/3n t^4n+14n + 1
Integrando :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular os primeiros cinco termos dessa série para obter uma aproximação:
Para binom-1/30 t^11 = 1 cdot t = t :
binom-1/31 t^55 = (-13) t^55 = -t^515
Para binom-1/32 t^99 = (-1/3)(-4/3)2 t^99 = 49 cdot 2 t^99 = 2t^981 :
binom-1/33 t^1313 = (-1/3)(-4/3)(-7/3)6 t^1313 = -2881 cdot 6 t^1313 = -28 t^136084
Para binom-1/34 t^1717 = (-1/3)(-4/3)(-7/3)(-10/3)24 t^1717 = 280729 cdot 24 t^1717 = 35 t^1727993 :
Para :
Para :

Resposta

Então, a expansão da integral t - t^515 + 2 t^981 - 28 t^136084 + 35 t^1727993 + dots em série de potências, com os primeiros cinco termos, é:

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