Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
e expressá-la como uma série de potências centrada em zero. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Maclaurin e integração termo a termo. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral:
. Podemos reescrever isso como
.
Passo 3
Sabemos que
pode ser expandido em uma série de potências (série de Maclaurin) da seguinte forma:
Vamos usar essa expressão para substituir
na nossa função.
Passo 4
Substituindo a série na função, temos:
Simplificando o termo da série:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de
é fácil:
Para a série, integramos cada termo individualmente:
Observando que
no denominador é válido para
, mas para
, o termo se torna
, que já está coberto pelo termo
.
Passo 6
Juntando tudo, a integral fica:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
expressa como uma série de potências centrada em zero é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral
utilizando expansão em série de potências, centrada em zero. Determine o termo geral desta expansão ou faça o seu desenvolvimento com pelo menos 5 termos não nulos.
Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(f)
(f)
Mostre que as funções
e
são soluções da equação diferencial
.