Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
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Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral e expressá-la como uma série de potências centrada em zero. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Maclaurin e integração termo a termo. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: . Podemos reescrever isso como .

Passo 3

Sabemos que pode ser expandido em uma série de potências (série de Maclaurin) da seguinte forma:
Vamos usar essa expressão para substituir na nossa função.

Passo 4

Substituindo a série na função, temos:
Simplificando o termo da série:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de é fácil:
Para a série, integramos cada termo individualmente:
Observando que no denominador é válido para , mas para , o termo se torna , que já está coberto pelo termo .

Passo 6

Juntando tudo, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral expressa como uma série de potências centrada em zero é:

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Calcule a integral utilizando expansão em série de potências, centrada em zero. Determine o termo geral desta expansão ou faça o seu desenvolvimento com pelo menos 5 termos não nulos.
Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(f)
Mostre que as funções e são soluções da equação diferencial .