Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
© integral x-arctan xx^3 d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral e expressá-la como uma série de potências centrada em zero. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Maclaurin e integração termo a termo. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: . Podemos reescrever isso como .

Passo 3

Sabemos que arctan x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1, para |x| <= 1 pode ser expandido em uma série de potências (série de Maclaurin) da seguinte forma:
Vamos usar essa expressão para substituir na nossa função.

Passo 4

Substituindo a série na função, temos:
x - arctan xx^3 = x^-2 - 1x^3 sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1
Simplificando o termo da série:
x^-2 - sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1 - 32n+1 = x^-2 - sumn=0^infty (-1)^n x^2n-22n+1

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de integral x^-2 , dx = -x^-1 + C é fácil:
integral sumn=0^infty (-1)^n x^2n-22n+1 , dx = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 integral x^2n-2 , dx = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 cdot x^2n-12n-1 + C
Para a série, integramos cada termo individualmente:
Observando que no denominador é válido para , mas para , o termo se torna , que já está coberto pelo termo .

Passo 6

Juntando tudo, a integral fica:
integral x - arctan xx^3 , dx = -x^-1 - sumn=1^infty (-1)^n x^2n-1(2n+1)(2n-1) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral integral x - arctan xx^3 , dx = -1x - sumn=1^infty (-1)^n x^2n-1(2n+1)(2n-1) + C expressa como uma série de potências centrada em zero é:

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