Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(h)
(h)
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um limite usando desenvolvimento em séries de Maclaurin. O problema é calcular:
Para isso, vamos precisar conhecer as séries de Maclaurin das funções seno, cosseno e exponencial. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função no ponto 0. Isso ajuda a simplificar funções complicadas para facilitar cálculos como limites.
Passo 3
Vamos começar expandindo
usando a série de Maclaurin. A série de
é:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos expandir
. A série de
é:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos expandir também
. A série de
é:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos montar o numerador da nossa expressão:
Simplificando:
Passo 7
O denominador é:
Passo 8
Agora, substituímos novamente na nossa expressão original:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
:
Passo 9
Quando
se aproxima de 0, os termos com
e superiores se tornam insignificantes. Portanto, o limite fica:
Resposta
Exercícios relacionados
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(b)
(b)
Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(f)
(f)
Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(f)
(f)
Calcule a integral
utilizando expansão em série de potências, centrada em zero. Determine o termo geral desta expansão ou faça o seu desenvolvimento com pelo menos 5 termos não nulos.