Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(h) lim x 0 sin (x^8)+cos (3 x^4)-1e^x^8-1

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um limite usando desenvolvimento em séries de Maclaurin. O problema é calcular:
lim x 0 sin (x^8)+cos (3 x^4)-1e^x^8-1
Para isso, vamos precisar conhecer as séries de Maclaurin das funções seno, cosseno e exponencial. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função no ponto 0. Isso ajuda a simplificar funções complicadas para facilitar cálculos como limites.

Passo 3

Vamos começar expandindo sin(z) = z - z^33! + z^55! - cdots usando a série de Maclaurin. A série de sin(x^8) = x^8 - (x^8)^36 + cdots = x^8 - x^246 + cdots é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos expandir cos(z) = 1 - z^22! + z^44! - cdots . A série de cos(3x^4) = 1 - (3x^4)^22 + (3x^4)^424 - cdots = 1 - 9x^82 + 81x^1624 - cdots é:
Substituindo :

Passo 5

Vamos expandir também e^z = 1 + z + z^22! + z^33! + cdots . A série de e^x^8 = 1 + x^8 + x^162 + cdots é:
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos montar o numerador da nossa expressão:
sin(x^8) + cos(3x^4) - 1 = (x^8 - x^246 + cdots) + (1 - 9x^82 + 81x^1624 - cdots) - 1
Simplificando:
= x^8 - 9x^82 + cdots = -7x^82 + cdots

Passo 7

O denominador é:
e^x^8 - 1 = x^8 + x^162 + cdots

Passo 8

Agora, substituímos novamente na nossa expressão original:
lim x 0 -7x^82 + cdotsx^8 + x^162 + cdots
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por lim x 0 -72 + cdots1 + x^82 + cdots :

Passo 9

Quando -721 = -72 se aproxima de 0, os termos com e superiores se tornam insignificantes. Portanto, o limite fica:

Resposta

lim x 0 sin (x^8)+cos (3 x^4)-1e^x^8-1 = -72

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Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
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Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(f) f(x)=integral e^-x^2 d x
Calcule a integral integral0^t 1raiz[3]1+x^4 d x utilizando expansão em série de potências, centrada em zero. Determine o termo geral desta expansão ou faça o seu desenvolvimento com pelo menos 5 termos não nulos.