Mostre que as funções
e
são soluções da equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as funções
e
são soluções da equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com séries de potências e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e depois verificar se elas satisfazem a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que descreve funções cuja segunda derivada é o oposto da função original. Para provar que
e
são soluções, precisamos calcular as segundas derivadas dessas funções e somá-las às funções originais.
Passo 3
Vamos começar com
:
Para encontrar a segunda derivada, primeiro derivamos termo a termo:
Agora, derivamos novamente:
Fazendo uma mudança de índice
, temos:
Ignorando o termo de
(que é zero), voltamos a:
Portanto:
Isso mostra que
satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Calculando a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Já calculamos
anteriormente, que é:
Fazendo a mesma mudança de índice
:
Então:
Mas lembrando que
, que pode ser relacionado à função
, concluindo que a soma resulta em zero.
Resposta
Assim, mostramos que tanto
quanto
são soluções da equação diferencial
.
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Calcule a integral
utilizando expansão em série de potências, centrada em zero. Determine o termo geral desta expansão ou faça o seu desenvolvimento com pelo menos 5 termos não nulos.
Encontre a soma das seguintes séries
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