Mostre que as funções e são soluções da equação diferencial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as funções e são soluções da equação diferencial . Aqui, estamos lidando com séries de potências e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e depois verificar se elas satisfazem a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que descreve funções cuja segunda derivada é o oposto da função original. Para provar que e são soluções, precisamos calcular as segundas derivadas dessas funções e somá-las às funções originais.

Passo 3

Vamos começar com :
Para encontrar a segunda derivada, primeiro derivamos termo a termo:
Agora, derivamos novamente:
Fazendo uma mudança de índice , temos:
Ignorando o termo de (que é zero), voltamos a:
Portanto:
Isso mostra que satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para :
Calculando a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Já calculamos anteriormente, que é:
Fazendo a mesma mudança de índice :
Então:
Mas lembrando que , que pode ser relacionado à função , concluindo que a soma resulta em zero.

Resposta

Assim, mostramos que tanto quanto são soluções da equação diferencial .

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