Mostre que as funções f1(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)! e f2(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)! são soluções da equação diferencial f^prime prime(x)+f(x)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as funções e são soluções da equação diferencial . Aqui, estamos lidando com séries de potências e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e depois verificar se elas satisfazem a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que descreve funções cuja segunda derivada é o oposto da função original. Para provar que e são soluções, precisamos calcular as segundas derivadas dessas funções e somá-las às funções originais.

Passo 3

Vamos começar com f1(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! :
f1'(x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2n cdot x^2n-1(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n x^2n-1(2n-1)!
Para encontrar a segunda derivada, primeiro derivamos termo a termo:
f1''(x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot (2n-1) cdot x^2n-2(2n-1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^2n-2(2n-2)!
Agora, derivamos novamente:
f1''(x) = summ=-1^infty (-1)^m+1 x^2m(2m)!
Fazendo uma mudança de índice f1''(x) = -summ=0^infty (-1)^m x^2m(2m)! = -f1(x) , temos:
f1''(x) + f1(x) = -f1(x) + f1(x) = 0
Ignorando o termo de (que é zero), voltamos a:
Portanto:
Isso mostra que satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para f2(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! :
f2'(x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot (2n+1) cdot x^2n(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! = f1(x)
Calculando a primeira derivada:
f2''(x) = ddx [f1(x)] = f1'(x)
Agora, a segunda derivada:
f1'(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n-1(2n-1)!
Já calculamos f2''(x) = -summ=0^infty (-1)^m x^2m(2m)! = -f1(x) anteriormente, que é:
f2''(x) + f2(x) = -f1(x) + f2(x)
Fazendo a mesma mudança de índice :
Então:
Mas lembrando que , que pode ser relacionado à função , concluindo que a soma resulta em zero.

Resposta

Assim, mostramos que tanto quanto são soluções da equação diferencial .

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