Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(f) f(x)=integral e^-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício: desenvolver em série de Maclaurin a função . Isso significa que vamos escrever essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de , centrada em . Para isso, precisamos lembrar como funciona a série de Maclaurin e como aplicá-la a integrais. Vamos destrinchar isso juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma série de Maclaurin. É um tipo específico de série de Taylor que expande uma função em torno de f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n . A forma geral é:
Mas, nesse caso, em vez de derivar a função repetidamente, vamos usar uma abordagem mais simples: expandir a função dentro da integral em uma série de potências e depois integrar termo a termo.

Passo 3

Vamos começar expandindo e^u = sumn=0^infty u^nn! em uma série de Maclaurin. Sabemos que a série de Maclaurin para e^-x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! é:
Aqui, nosso é . Substituindo, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa série termo a termo para encontrar f(x) = integral e^-x^2 , dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! , dx = sumn=0^infty (-1)^nn! integral x^2n , dx :
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1n! (2n+1) + C
A integral de é , então:
Onde é a constante de integração. Geralmente, para séries de Maclaurin, consideramos se sabemos que .

Resposta

A série de Maclaurin para f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1n! (2n+1) é:

Exercícios relacionados

Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(h) lim x 0 sin (x^8)+cos (3 x^4)-1e^x^8-1
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(b) lim x 0 sin (x^2)+cos (x^3)-x^2-1x^6
Calcule a integral integral0^t 1raiz[3]1+x^4 d x utilizando expansão em série de potências, centrada em zero. Determine o termo geral desta expansão ou faça o seu desenvolvimento com pelo menos 5 termos não nulos.
Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
© integral x-arctan xx^3 d x