Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício: desenvolver em série de Maclaurin a função
. Isso significa que vamos escrever essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
, centrada em
. Para isso, precisamos lembrar como funciona a série de Maclaurin e como aplicá-la a integrais. Vamos destrinchar isso juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma série de Maclaurin. É um tipo específico de série de Taylor que expande uma função em torno de
. A forma geral é:
Mas, nesse caso, em vez de derivar a função repetidamente, vamos usar uma abordagem mais simples: expandir a função dentro da integral em uma série de potências e depois integrar termo a termo.
Passo 3
Vamos começar expandindo
em uma série de Maclaurin. Sabemos que a série de Maclaurin para
é:
Aqui, nosso
é
. Substituindo, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa série termo a termo para encontrar
:
A integral de
é
, então:
Onde
é a constante de integração. Geralmente, para séries de Maclaurin, consideramos
se sabemos que
.
Resposta
A série de Maclaurin para
é: