Calcule a integral.
integral0^1(t i+t^2 j+t^3 k) d t

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de um vetor, que é uma combinação das integrais das componentes individuais desse vetor. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente a integração de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada componente do vetor separadamente em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor dentro da integral:
t i + t^2 j + t^3 k
Cada uma dessas componentes será integrada de a .

Passo 3

Vamos integrar a primeira componente, integral0^1 t , dt :
12 (1)^2 - 12 (0)^2 = 12
A integral de em relação a é . Avaliando de a :
Então, a primeira componente da integral é .

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda componente, integral0^1 t^2 , dt :
13 (1)^3 - 13 (0)^3 = 13
A integral de em relação a é . Avaliando de a :
Então, a segunda componente da integral é .

Passo 5

Finalmente, vamos integrar a terceira componente, integral0^1 t^3 , dt :
14 (1)^4 - 14 (0)^4 = 14
A integral de em relação a é . Avaliando de a :
Então, a terceira componente da integral é .

Resposta

A integral calculada é:
integral0^1(t i + t^2 j + t^3 k) dt = 12 i + 13 j + 14 k

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