Determine a derivada da função vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a derivada da função vetorial dada por:
Aqui estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções escalares que estão multiplicando os vetores unitários , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes. Ou seja, se temos:
Então, a derivada será:
Neste exercício, , e .

Passo 3

Vamos começar derivando cada componente separadamente.
  1. Derivada de :
A derivada de uma constante é zero:
  1. Derivada de :
Sabemos que a derivada de é :
  1. Derivada de :
A derivada de é :

Passo 4

Agora que temos as derivadas de cada componente, vamos montar a derivada da função vetorial substituindo os valores encontrados:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
§
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(d)
Calcule a integral.
Determine a derivada da função vetorial.