Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge de forma absoluta ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para analisar a convergência de séries com termos envolvendo fatorial e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, se formos calcular o limite do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual , isto é:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste não é conclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série.
Passo 3
Identificamos o termo geral da série:
Agora, vamos encontrar :
Passo 4
Agora, calculamos a razão :
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:
Sabemos que , e conforme cresce, tende a , mas aqui temos a potência 100 fixa. Portanto:
Então, o limite fica:
Passo 6
Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.