Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
§

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge de forma absoluta ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para analisar a convergência de séries com termos envolvendo fatorial e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, se formos calcular o limite do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual , isto é:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 3

Identificamos o termo geral da série:
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, calculamos a razão :
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:
Sabemos que , e conforme cresce, tende a , mas aqui temos a potência 100 fixa. Portanto:
Então, o limite fica:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(d)
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(n)
Determine a derivada da função vetorial.
Calcule a integral.