Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge de forma absoluta ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para analisar a convergência de séries com termos envolvendo fatorial e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, se formos calcular o limite do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual , isto é:
Vamos calcular o limite desse quociente quando L = limn to infty 100 cdot ( n+1n )^100 cdot 1n+1 tende ao infinito:
(1 + 1n)^100 approx 1 + 100n quando n to infty
Sabemos que L = limn to infty 100 cdot (1 + 100n) cdot 1n+1 = limn to infty 100n+1 + 100 cdot 100(n)(n+1) = 0 , e conforme cresce, tende a , mas aqui temos a potência 100 fixa. Portanto:
Então, o limite fica:
Passo 6
Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.