Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
§ sumn=1^infty n^100 100^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge de forma absoluta ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para analisar a convergência de séries com termos envolvendo fatorial e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, se formos calcular o limite L = limn to infty | an+1an | do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual , isto é:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 3

Identificamos o termo geral da série:
an = n^100 cdot 100^nn!
Agora, vamos encontrar an+1 = (n+1)^100 cdot 100^n+1(n+1)! :

Passo 4

Agora, calculamos a razão an+1an = (n+1)^100 cdot 100^n+1(n+1)! cdot n!n^100 cdot 100^n = (n+1)^100 cdot 100n^100 cdot (n+1) :
an+1an = 100 cdot ( n+1n )^100 cdot 1n+1
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos calcular o limite desse quociente quando L = limn to infty 100 cdot ( n+1n )^100 cdot 1n+1 tende ao infinito:
(1 + 1n)^100 approx 1 + 100n quando n to infty
Sabemos que L = limn to infty 100 cdot (1 + 100n) cdot 1n+1 = limn to infty 100n+1 + 100 cdot 100(n)(n+1) = 0 , e conforme cresce, tende a , mas aqui temos a potência 100 fixa. Portanto:
Então, o limite fica:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados