Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(q) sumn=1^infty(n^2+12 n^2+1)^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente tem uma série infinita:
sumn=1^infty(n^2+12 n^2+1)^n
E a gente precisa determinar se essa série converge absolutamente ou diverge usando o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro da série para ter uma ideia melhor do comportamento geral dela. Observamos que:
n^2+12n^2+1
Quando n^2+12n^2+1 approx n^22n^2 = 12 cresce, os termos de menor grau (como o 1) ficam menos significativos. Então, podemos aproximar essa fração assim:
Isso nos dá uma ideia de que cada termo da série está se aproximando de quando tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz, que é muito útil para séries onde os termos estão elevados a uma potência L = limn to infty raiz[n]an . O teste diz que se:
raiz[n]an = raiz[n](n^2+12n^2+1)^n = n^2+12n^2+1
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando L = limn to infty n^2+12n^2+1 tende ao infinito:
L = limn to infty 1 + 1n^22 + 1n^2 = 1 + 02 + 0 = 12
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 5

Como sumn=1^infty(n^2+12 n^2+1)^n , de acordo com o Teste da Raiz, a série:
converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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