Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(q)
(q)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente tem uma série infinita:
E a gente precisa determinar se essa série converge absolutamente ou diverge usando o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro da série para ter uma ideia melhor do comportamento geral dela. Observamos que:
Quando
cresce, os termos de menor grau (como o 1) ficam menos significativos. Então, podemos aproximar essa fração assim:
Isso nos dá uma ideia de que cada termo da série está se aproximando de
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz, que é muito útil para séries onde os termos estão elevados a uma potência
. O teste diz que se:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
. Vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Como
, de acordo com o Teste da Raiz, a série:
converge absolutamente.
Resposta
A série
converge absolutamente.
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(n)
(n)